2018-全国卷III理-04 单-二倍角公式

本题导读

本题考查三角函数二倍角公式，以及代数运算。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）若 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，则 $\cos 2\alpha =$()

A. $\frac{8}{9}$　　　　　　B. $\frac{7}{9}$　　　　　　C. $-\frac{7}{9}$　　　　　　D. $-\frac{8}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾公式：$\cos 2\alpha$ 有三个常用的等价形式：

• ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
• $2{\cos }^2\alpha -1$
• $1-2{\sin }^2\alpha$

2. 选择最优方案：既然题目已知的是 $\sin \alpha$，那么选择第 三 种形式 $1-2{\sin }^2\alpha$ 最为直接，无需再去计算 $\cos \alpha$。
3. 代入计算：将 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ 代入公式进行平方和乘法运算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 根据余弦的二倍角公式： $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 代入 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ 得： $\cos 2\alpha =1-2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ $=1-2\times \frac{1}{9}$ $=1-\frac{2}{9}$ $=\frac{7}{9}$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式选择：在考场上，快速识别已知条件并匹配公式能节省大量时间。
2. 符号注意：如果 $\sin \alpha$ 是负值，由于公式中是平方项，结果依然不变。但如果是求 $\sin 2\alpha$，符号就至关重要。
3. 计算细节：注意先平方再乘 2，不要错算成 $(1-2\sin \alpha {)}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个公式组：

• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ (原始定义)
• $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ (降幂/转化)
• $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ (降幂/转化)
• 半角公式（变形自上述公式）：${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$，${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2022-天津卷-16 解-解三角形
• 1978-全国卷-06