2018-全国卷III理-12 单-对数换底

本题导读

本题考查对数的换底公式。核心在于换底公式法、符号判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）设 $a={\log }_{0.2}0.3$，$b={\log }_{2}0.3$，则()

A. $a+b<ab<0$　　　　　　　　　　　　　　　B. $ab<a+b<0$

C. $a+b<0<ab$　　　　　　　　　　　　　　　D. $ab<0<a+b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定单体符号：

• $a={\log }_{0.2}0.3$：底数 $0.2\in (0,1)$，真数 $0.3\in (0,1)$，故 $a>0$。且 ${\log }_{0.2}0.2=1,{\log }_{0.2}1=0$，故 $0<a<1$。
• $b={\log }_{2}0.3$：底数 $2>1$，真数 $0.3\in (0,1)$，故 $b<0$。
• 由此可知 $ab<0$。排除 C。

2. 构造倒数和：

• 利用换底公式 ${\log }_{x}y=\frac{1}{{\log }_{y}x}$： $\frac{1}{a}={\log }_{0.3}0.2$ $\frac{1}{b}={\log }_{0.3}2$
• 相加：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{0.3}0.2+{\log }_{0.3}2={\log }_{0.3}(0.2\times 2)={\log }_{0.3}0.4$。

3. 判定数值范围：

• 因为底数 $0.3\in (0,1)$，且 $0.3<0.4<1$，
• 根据对数函数单调性：${\log }_{0.3}0.3>{\log }_{0.3}0.4>{\log }_{0.3}1$，
• 即 $1>{\log }_{0.3}0.4>0$。

4. 推导结论：

• $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\in (0,1)$。
• 因为 $ab<0$，不等式两边同乘 $ab$ 需要变号： $0>a+b>ab$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 判断正负： 由于 $0<0.2<1$ 且 $0<0.3<1$，根据对数性质知 $a={\log }_{0.2}0.3>0$。 由于 $2>1$ 且 $0<0.3<1$，知 $b={\log }_{2}0.3<0$。 因此 $ab<0$。

2. 计算 $\frac{a+b}{ab}$： 利用换底公式 ${\log }_{M}N=\frac{1}{{\log }_{N}M}$： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{0.3}0.2+{\log }_{0.3}2={\log }_{0.3}(0.2\times 2)={\log }_{0.3}0.4$ 由于 $0<0.3<0.4<1$，故 $0<{\log }_{0.3}0.4<{\log }_{0.3}0.3=1$。 即 $0<\frac{a+b}{ab}<1$。

3. 确定最终顺序： 由 $\frac{a+b}{ab}<1$ 且 $ab<0$，不等式两边同乘以 $ab$ 得： $a+b>ab$。 又由 $\frac{a+b}{ab}>0$ 且 $ab<0$ 得： $a+b<0$。 综上所述，$ab<a+b<0$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对数符号口诀：底数与真数“同在大一”或“同在小一（0到1之间）”则为正，一升一降（一大大一，一小小一）则为负。
2. 换底公式的妙用：当多个对数的真数相同时，换底成以该真数为底的对数，可以将乘除关系转化为加减关系。
3. 不等式变号：在含有字母的不等式变形中，必须时刻警惕乘数或除数的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 比较大小常用桥梁：0 和 1。
• 本题中 $a\in (0,1)$，$b<0$，这种定性分析能排除大部分干扰项，剩下的定量分析则依靠换底公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-01
• 1977-江苏卷-01(4)
• 1978-全国卷-04