2018-全国卷III理-13 填-向量坐标运算

本题导读

本题考查向量的数乘与加法坐标运算，以及向量平行的坐标充要条件。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-2)$，$\vec{c}=(1,\lambda )$.若 $\vec{c}\parallel (2\vec{a}+\vec{b})$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 计算组合向量：先算出 $2\vec{a}+\vec{b}$ 的具体坐标。

• $2\vec{a}=2\times (1,2)=(2,4)$
• $2\vec{a}+\vec{b}=(2,4)+(2,-2)=(4,2)$

2. 利用平行条件：

• 设 $\vec{m}=(x_1,y_1)$，$\vec{n}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{m}\parallel \vec{n}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
• 这里 $\vec{c}=(1,\lambda )$，组合向量为 $(4,2)$。

3. 解方程：代入公式 $1\times 2-4\times \lambda =0$，求出 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析过程】

1. 计算 $2\vec{a}+\vec{b}$： 因为 $\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(2,-2)$， 所以 $2\vec{a}+\vec{b}=(2,4)+(2,-2)=(4,2)$。

2. 根据平行条件列式： 由于 $\vec{c}=(1,\lambda )\parallel (4,2)$， 则有 $1\times 2-4\times \lambda =0$。

3. 求解： $4\lambda =2$ $\lambda =\frac{1}{2}$。

故填入：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算严谨性：注意 $2\vec{a}$ 时横纵坐标都要乘以 2。
2. 平行与垂直的区别：

• 平行 ($\parallel$)：$x_1{y}_2=x_2{y}_1$（交叉相乘相等）。
• 垂直 ($\perp$)：$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$（对应相乘之和为 0）。 考场上容易将这两个公式记混。

3. 比例法：也可以观察坐标之间的比例。$(4,2)$ 的横坐标是纵坐标的 2 倍，那么 $(1,\lambda )$ 的横坐标也应是纵坐标的 2 倍，即 $1=2\lambda$，口算即可得出 $\lambda =0.5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个技巧：

• 如果两个非零向量 $\vec{a},\vec{b}$ 共线，则必存在实数 $k$ 使得 $\vec{b}=k\vec{a}$。
• 在本题中，$(4,2)=4\times (1,0.5)$，所以 $k=4$，这验证了结果的正确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质