2018-北京卷理-06 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模的运算。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）设 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，则 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$” 是 “$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$” 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

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C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

由于 $\vec{a},\vec{b}$ 均为单位向量，所以 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$。

对等式 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$ 两边平方得：

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2$

${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=2$

将 $|\vec{a}{|}^2=1,|\vec{b}{|}^2=1$ 代入：

$1-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1=2⟹-2\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

上述推导过程每一步均可逆，因此 “$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$” 是 “$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$” 的充分必要条件。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积

• 2005-湖南卷理-13 填-平面向量的数量积

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算