2018-北京卷理-08 单-点集集合

本题导读

本题考查点与集合的关系。核心在于代入验证法、直接法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）设集合 $A=\{(x,y)\mid x-y\ge 1,ax+y>4,x-ay\le 2\}$，则()

A. 对任意实数 $a$，$(2,1)\in A$

B. 对任意实数 $a$，$(2,1)\notin A$

C. 当且仅当 $a<0$ 时，$(2,1)\notin A$

D. 当且仅当 $a\le \frac{3}{2}$ 时，$(2,1)\notin A$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：点 $(2,1)\in A$ 的充要条件是其坐标满足集合 $A$ 中的所有不等式。
2. 代入测试：将 $x=2,y=1$ 代入不等式组：

• 不等式 ①：$x-y\ge 1⟹2-1\ge 1$。此不等式恒成立，与 $a$ 无关。
• 不等式 ②：$ax+y>4⟹2a+1>4⟹2a>3⟹a>\frac{3}{2}$。
• 不等式 ③：$x-ay\le 2⟹2-a\le 2⟹-a\le 0⟹a\ge 0$。

3. 求交集：点 $(2,1)\in A$ 必须同时满足 $a>\frac{3}{2}$ 和 $a\ge 0$。

• 综上所述，当且仅当 $a>\frac{3}{2}$ 时，$(2,1)\in A$。

4. 判定结论：根据上述结论，分析各选项。如果 $a>\frac{3}{2}$ 对应“在集合内”，那么其补集 $a\le \frac{3}{2}$ 就对应“不在集合内”。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 将点 $(2,1)$ 的坐标 $x=2,y=1$ 代入集合 $A$ 的约束条件：

1. 由 $x-y\ge 1$ 得：$2-1\ge 1⟹1\ge 1$（恒成立）；
2. 由 $ax+y>4$ 得：$2a+1>4⟹2a>3⟹a>\frac{3}{2}$；
3. 由 $x-ay\le 2$ 得：$2-a\le 2⟹a\ge 0$。

点 $(2,1)\in A$ 的充要条件是上述三个条件同时满足，即： $\{\begin{array}{l}\text{恒成立}\\ a>\frac{3}{2}\\ a\ge 0\end{array}⟹a>\frac{3}{2}$

因此：

• 当 $a>\frac{3}{2}$ 时，$(2,1)\in A$；
• 当 $a\le \frac{3}{2}$ 时，$(2,1)\notin A$（此时至少有一个不等式不满足）。

对比选项：

• (A)、(B) 显然错误，因为结果与 $a$ 的取值有关；
• (C) 错误，范围不符；
• (D) 正确，完整描述了点不在集合内的充要条件。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “当且仅当”的含义：在数学中这代表充分必要条件。本题就是在求使点不在集合内的 $a$ 的取值范围。
2. 压轴题的心理防御：很多同学看到第 8 题有参数 $a$ 且涉及可行域，就开始尝试画图。其实对于这种“判断特定点是否在集合内”的问题，代数代入法远比画图法高效且准确。
3. 细节注意：注意不等号是否带等号。$ax+y>4$ 是不带等号的，所以其否定是 $ax+y\le 4$，即包含 $a=3/2$ 的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结这个快速判定法则：

• 点在区域内：坐标代入所有不等式均成立。
• 点在边界上：坐标代入后，至少有一个不等式取到了等号，且其他不等式均成立。
• 点在区域外：坐标代入后，至少有一个不等式不成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-14 单-不定方程的选购计数
• 2003-江苏卷-01
• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题