2018-北京卷理-12 填-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及二元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）若 $x,y$ 满足 $x+1\le y\le 2x$，则 $2y-x$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：

• 直线 $l_1:y=x+1$。
• 直线 $l_2:y=2x$。
• 不等式组 $x+1\le y$ 且 $y\le 2x$ 围成的区域是两条直线交点上方的夹角区域。

2. 找关键点：求出 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点坐标。

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=2x\end{array}⟹x=1,y=2$。交点为 $P(1,2)$。

3. 分析目标函数：令 $z=2y-x$，这是求斜率为 $1/2$ 的动直线在 $y$ 轴截距的最值。
4. 判定最值点：由于可行域向右上方无限延伸，且目标函数的系数均为正，最小值通常在可行域的“最底部”顶点取得。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 3

【解析过程】 根据约束条件 $\{\begin{array}{l}y\ge x+1\\ y\le 2x\end{array}$ 画出可行域。 由于 $2x\ge x+1$ 隐含了 $x\ge 1$。 可行域是以 $P(1,2)$ 为顶点，向右上方延伸的射线围成的区域。

目标函数 $z=2y-x$。 将顶点 $P(1,2)$ 代入： $z=2\times 2-1=3$ 为了验证这是否为最小值，考虑目标函数直线的移动： $y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。当 $z$ 减小时，直线向下平移。 由于可行域内的点都在直线 $y=x+1$ 的上方和 $y=2x$ 的下方，且这两条直线的斜率（1 和 2）都大于目标函数直线的斜率（1/2）， 因此目标直线向下平移时，第一个接触到的点必然是顶点 $(1,2)$。

故 $z$ 的最小值为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 顶点法：对于线性目标函数，最值一定在可行域的顶点取得。本题只有一个交点，且区域不封闭，直接代入交点几乎必然是结果。
2. 区域判定：注意 $x+1\le 2x$ 必须满足，这意味着此问题有意义的前提是 $x\ge 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结这个口诀：

• $y$ 的系数为正：$z$ 越大，直线越往上走；$z$ 越小，直线越往下走。
• $y$ 的系数为负：$z$ 越大，直线越往下走；$z$ 越小，直线越往上走。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 山东卷理-04 单-线性规划
• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题
• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题