2018-北京卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于正弦定理、辅助角法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）在 $△ABC$ 中，$a=7$，$b=8$，$\cos B=-\frac{1}{7}$.

(1) 求 $\angle A$；

(2) 求 $AC$ 边上的高.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 已知两边 $a,b$ 和其中一边的对角余弦 $\cos B$。
• 首先利用 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 求出 $\sin B$。
• 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\sin A$。
• 根据 $\cos B<0$ 判断 $B$ 为钝角，从而确定 $A$ 为锐角，得出 $\angle A$。

2. 第二问：

• 求 $AC$ 边上的高，即求顶点 $B$ 到边 $b$ 的距离 $h$。
• 公式：$h=a\sin C$ 或 $h=c\sin A$。
• 需要先求出 $\sin C$（通过 $\sin (A+B)$）或者先用余弦定理求出边 $c$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$

(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 在 $△ABC$ 中，因为 $\cos B=-\frac{1}{7}$，$B\in (0,\pi )$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-(-\frac{1}{7}{)}^2}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{7\times \frac{4\sqrt{3}}{7}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $\cos B=-\frac{1}{7}<0$，所以 $B$ 是钝角。 在三角形中，钝角最多只有一个，故 $A$ 必为锐角。 由 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $A=\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

(2)解： 方法一：利用余弦定理求 $c$ 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $8^2=7^2+c^2-2\times 7\times c\times (-\frac{1}{7})$ $64=49+c^2+2c⟹c^2+2c-15=0$ 解得 $c=3$ 或 $c=-5$（舍去）。 设 $AC$ 边上的高为 $h$，则 $h=c\sin A$： $h=3\times \sin \frac{\pi }{3}=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

方法二：利用面积法 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\times (-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{3}}{7}=-\frac{\sqrt{3}}{14}+\frac{4\sqrt{3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ 三角形面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 7\times 8\times \frac{3\sqrt{3}}{14}=6\sqrt{3}$ 又 $S=\frac{1}{2}b\cdot h⟹6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 8\times h$ 解得 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

故 $AC$ 边上的高为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多解性预防：在利用正弦定理求角时，一定要根据已知条件（如余弦正负、边长大小）判断该角是锐角还是钝角。
2. 高的计算技巧：求三角形的高，最直观的方法是利用邻边乘以夹角的正弦值（$h=\text{侧边}\times \sin \text{夹角}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 已知两边一角：优先余弦定理（求第三边）或正弦定理（求另一角）。
• 已知两角一边：直接正弦定理。
• 求面积/高：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，高则由此转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2004-全国卷III理-10 单-余弦定理
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式