2018-北京卷理-16 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，$D,E,F,G$ 分别为 $A{A}_1,AC,A_1{C}_1,B{B}_1$ 的中点，$AB=BC=\sqrt{5}$，$AC=A{A}_1=2$.

(1) 求证：$AC\perp$ 平面 $BEF$；

(2) 求二面角 $B-CD-C_1$ 的余弦值；

(3) 证明：直线 $FG$ 与平面 $BCD$ 相交.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（几何证明）：

• 在底面 $△ABC$ 中，$AB=BC$，且 $E$ 为 $AC$ 中点，由三线合一得 $BE\perp AC$。
• 在侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 中，$C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，且 $F,E$ 分别为中点，易证 $EF\parallel C{C}_1$，故 $EF\perp AC$。
• 结合 $BE\cap EF=E$，利用线面垂直判定定理。

2. 第二问（二面角）：

• 建系：由于 $AC\perp BE$ 且 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，以 $E$ 为原点，$EB$ 为 $x$ 轴，$EC$ 为 $y$ 轴，$EF$（或 $C{C}_1$ 方向）为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 算坐标：根据边长计算 $B,C,D,C_1$ 的坐标。
• 求法向量：分别求平面 $BCD$ 和平面 $CD{C}_1$ 的法向量，利用夹角公式。

3. 第三问（位置关系）：

• 直线与平面相交 $⟺$ 直线与平面不平行且直线不在平面内。
• 向量法：若直线方向向量与平面法向量的点积不为 $0$，则直线与平面相交。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $-\frac{1}{\sqrt{21}}$

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为 $AB=BC$，且 $E$ 是 $AC$ 的中点， 所以 $BE\perp AC$。 因为 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，$AC\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $C{C}_1\perp AC$。 在三棱柱中，侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 是矩形。因为 $E,F$ 分别是 $AC,A_1{C}_1$ 的中点， 所以 $EF\parallel C{C}_1$，从而 $EF\perp AC$。 又因为 $BE\cap EF=E$，且 $BE,EF\subset$ 平面 $BEF$， 所以 $AC\perp$ 平面 $BEF$。

(2)解：

由(1)知，$EB,EC,EF$ 两两垂直。以 $E$ 为原点，射线 $EB,EC,EF$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 由 $AC=2$ 得 $EC=1,AE=1$。在 $\text{Rt}△AEB$ 中，$BE=\sqrt{A{B}^2-A{E}^2}=\sqrt{5-1}=2$。 又 $A{A}_1=2$，则 $EF=2,D(0,-1,1),B(2,0,0),C(0,1,0),C_1(0,1,2)$。 $\overrightarrow{CB}=(2,-1,0)$，$\overrightarrow{CD}=(0,-2,1)$。 设平面 $BCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -2y+z=0\end{array}$，令 $y=2$，则 $x=1,z=4$，即 $\vec{n}=(1,2,4)$。 平面 $CD{C}_1$ 即为侧面 $AC{C}_1{A}_1$，其法向量为 $\vec{m}=\overrightarrow{EB}=(2,0,0)$。 设二面角为 $\theta$，则 $|\cos \theta |=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{2}{\sqrt{1+4+16}\cdot 2}=\frac{1}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{21}$。 由图知二面角为钝角，故余弦值为 $-\frac{\sqrt{21}}{21}$。

(3)证明： $G$ 是 $B{B}_1$ 的中点，则 $G(2,0,1)$，$F(0,0,2)$。 所以直线 $FG$ 的方向向量 $\overrightarrow{FG}=(2,0,-1)$。 平面 $BCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(1,2,4)$。 计算点积：$\overrightarrow{FG}\cdot \vec{n}=2\times 1+0\times 2+(-1)\times 4=2-4=-2\ne 0$。 因为方向向量与法向量不垂直，所以直线 $FG$ 与平面 $BCD$ 不平行。 又 $\overrightarrow{FG}$ 显然不在平面内（$F$ 点不在平面内）， 所以直线 $FG$ 与平面 $BCD$ 相交。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标系选取的技巧：利用第一问证明的垂直关系找“三轴”，可以极大简化坐标计算。
2. 法向量的物理意义：在判断线面位置关系时，利用点积 $\vec{v}\cdot \vec{n}\ne 0$ 直接判定相交是最快速的方法。
3. 细节注意：二面角的余弦值正负号必须结合图形（钝角或锐角）判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这类判定逻辑：

• 平行：$\vec{v}\cdot \vec{n}=0$ 且直线外一点不在平面内。
• 包含：$\vec{v}\cdot \vec{n}=0$ 且直线上一点在平面内。
• 相交：$\vec{v}\cdot \vec{n}\ne 0$。
• 垂直：$\vec{v}\parallel \vec{n}$（即 $\vec{v}=k\vec{n}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2007-天津卷理-19 解-二面角向量求法