2018-天津卷文-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角互化法、公式变形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$. 已知 $b\sin A=a\cos \left(B-\frac{\pi }{6}\right)$.

(1) 求角 $B$ 的大小；

(2) 设 $a=2,c=3$，求 $b$ 和 $\sin (2A-B)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将边化为角，结合诱导公式求解角 $B$。
2. 利用余弦定理求出边 $b$，再由正弦定理求出 $\sin A$ 与 $\cos A$，最后利用二倍角与两角差的正弦公式求解。

✅【答案】

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(1) $B=\frac{\pi }{3}$

(2) $b=\sqrt{7}$，$\sin (2A-B)=\frac{3\sqrt{3}}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可得 $b\sin A=a\sin B$。 代入已知条件 $b\sin A=a\cos \left(B-\frac{\pi }{6}\right)$，得： $a\sin B=a\cos \left(B-\frac{\pi }{6}\right)$ 因为 $a>0$，所以 $\sin B=\cos \left(B-\frac{\pi }{6}\right)$。 变形得 $\sin B=\sin \left[\frac{\pi }{2}-\left(B-\frac{\pi }{6}\right)\right]=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)$。 因为 $0<B<\pi$，所以 $B=\frac{2\pi }{3}-B$ 或 $B+\frac{2\pi }{3}-B=\pi$（矛盾舍去）， 解得 $2B=\frac{2\pi }{3}⟹B=\frac{\pi }{3}$。

(2) 在 $△ABC$ 中，$a=2,c=3,B=\frac{\pi }{3}$。 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $b^2=2^2+3^2-2\times 2\times 3\cos \frac{\pi }{3}=4+9-12\times \frac{1}{2}=13-6=7$ 故 $b=\sqrt{7}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{2\sin \frac{\pi }{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ 因为 $a<c$，所以 $A<C$，角 $A$ 为锐角，故： $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$ 从而： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{21}}{7}\times \frac{2\sqrt{7}}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$ $\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=1-2\times \frac{3}{7}=\frac{1}{7}$ 因为 $B=\frac{\pi }{3}$，所以 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos B=\frac{1}{2}$。 最后计算： $\sin (2A-B)=\sin 2A\cos B-\cos 2A\sin B$ $=\frac{4\sqrt{3}}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{7}-\frac{\sqrt{3}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理、两角差公式、二倍角公式。
2. 核心方法：边角互化法。
3. 避坑指南：根据三角形边长大小关系判断角的锐钝性（大边对大角），从而准确确定余弦值的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形常规压轴题。
2. 结论推广: 三角形中已知两边和一夹角或边角关系时，常优先考虑正余弦定理进行转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式
• 2009-天津卷理-17