2018-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性约束条件与可行域，以及目标函数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 5,\\ 2x-y\le 4,\\ -x+y\le 1,\\ y\ge 0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x+5y$ 的最大值为()

A. 6　　　　　　　B. 19　　　　　　　C. 21　　　　　　　D. 45

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：在直角坐标系中，将每个不等式转化为直线，并根据不等号的方向确定半平面区域，取它们的交集。
2. 分析目标函数：将 $z=3x+5y$ 变形为斜截式 $y=-\frac{3}{5}x+\frac{z}{5}$。

• 这是一组斜率为 $-\frac{3}{5}$ 的平行直线。
• 目标函数 $z$ 的最大值对应于直线在 $y$ 轴上截距 $\frac{z}{5}$ 的最大值。

3. 寻找最优解点：观察可行域的形状，将直线 $y=-\frac{3}{5}x$ 沿可行域向上平移，最后离开可行域的点即为取得最大值的点。
4. 求交点坐标并代入：通过联立方程组求出该顶点的坐标，代入 $z$ 算出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 绘制可行域： 如图所示，不等式组表示的平面区域为一个四边形（顶点分别为 $O(0,0)$, $B(2,0)$, $C(3,2)$, $A(2,3)$）。

2. 确定最优顶点： 将目标函数 $z=3x+5y$ 转化为 $y=-\frac{3}{5}x+\frac{z}{5}$。由于斜率 $k=-0.6$，介于直线 $x+y=5$ ($k=-1$) 和 $-x+y=1$ ($k=1$) 的斜率之间。 通过平移可知，直线经过直线 $x+y=5$ 与 $-x+y=1$ 的交点 $A$ 时，截距最大。

3. 求交点 $A$ 的坐标： 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -x+y=1\end{array}$ 两式相加得 $2y=6⟹y=3$；代入得 $x=2$。 所以点 $A$ 的坐标为 $(2,3)$。

4. 计算最大值： 将 $A(2,3)$ 代入目标函数： $z_{\max }=3\times 2+5\times 3=6+15=21$。

故本题正确选项为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 截距与最值的关系： 对于 $z=ax+by$ 型目标函数：

• 若 $b>0$，$z$ 随截距增大而增大（向上平移找最高点）。
• 若 $b<0$，$z$ 随截距增大而减小（向上平移找最低点）。

2. “顶点必选”原则：对于线性规划问题，最优解一定在可行域的顶点（或边界线）上取得。在时间紧迫时，可以直接求出所有顶点坐标代入比较。
3. 斜率估算法：通过比较目标函数斜率与各边界斜率的大小，可以快速锁定哪个交点是“最高点”，减少不必要的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 1977-天津-05
• 2004-浙江理-05 单-线性规划的可行域
• 2006-天津卷理-03 单-目标函数的几何意义