2018-江苏卷-05 填-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域求法，以及偶次根式的非负性限制。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）函数 $f(x)=\sqrt{{\log }_{2}x-1}$ 的定义域为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找限制条件：

• 偶次根式限制：根号下的表达式必须大于等于 0，即 ${\log }_{2}x-1\ge 0$。
• 对数函数限制：对数的真数必须严格大于 0，即 $x>0$。

2. 构建并求解不等式（组）：

• 解 ${\log }_{2}x-1\ge 0⟹{\log }_{2}x\ge 1$。
• 将常数 1 转化为同底的对数：$1={\log }_{2}2$。
• 比较大小：${\log }_{2}x\ge {\log }_{2}2$。因为底数 $2>1$，对数函数单调递增，所以直接去对数符号得 $x\ge 2$。

3. 取交集：

• $x\ge 2$ 显然满足真数限制 $x>0$。
• 写成集合或区间形式。

✅【答案】

点击查看答案

$[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $[2,+\infty )$

【解析过程】 要使函数 $f(x)$ 有意义，必须满足以下条件： $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x-1\ge 0\\ x>0\end{array}$

由 ${\log }_{2}x-1\ge 0$ 移项得： ${\log }_{2}x\ge 1$ 化为同底数对数： ${\log }_{2}x\ge {\log }_{2}2$ 因为底数 $2>1$，所以 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数， 解得： $x\ge 2$ 此结果同时也满足 $x>0$ 的条件。

所以，函数 $f(x)$ 的定义域为 $[2,+\infty )$。

故填入：$[2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定义域的“木桶原理”：求定义域时，必须把所有可能引起无意义的条件全部列出来（分母 $\ne 0$、根号下 $\ge 0$、对数真数 $>0$），最后求交集。虽然本题中 $x\ge 2$ 自然包含了 $x>0$，但养成写出 $x>0$ 的习惯可以避免在更复杂的题目中“漏根”。
2. 解对数不等式的关键：时刻关注底数 $a$。

• 若 $a>1$，${\log }_{a}f(x)\ge {\log }_{a}g(x)⟹f(x)\ge g(x)>0$（同向）。
• 若 $0<a<1$，${\log }_{a}f(x)\ge {\log }_{a}g(x)⟹0<f(x)\le g(x)$（反向）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III理-05 单-函数的定义域
• 2006-湖南卷理-01 单-无理函数的性质
• 1986-全国理-18 解-对数不等式的求解