2018-江苏卷-11 填-导数综合

本题导读

本题考查导数与函数的单调性、极值，以及三次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）若函数 $f(x)=2x^3-a{x}^2+1(a\in \mathbb{R})$ 在 $(0,+\infty )$ 内有且只有一个零点，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值与最小值的和为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导并找极值点：$f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$。令 $f^{\prime }(x)=0$，得到可能取得极值的点 $x=0$ 和 $x=\frac{a}{3}$。
2. 分析零点存在的条件（破题关键）：

• 已知 $f(0)=1>0$，且当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$（因为三次项系数为正）。
• 函数在 $(0,+\infty )$ 内部要存在零点，必然要先“降下来”穿过 $x$ 轴，然后再“升上去”趋向无穷大。
• 如果它穿过 $x$ 轴（即极小值 $<0$），那么它升上去的时候必然会再次穿过 $x$ 轴，从而产生 2 个零点。
• 题目要求在 $(0,+\infty )$ 内有且只有一个零点，唯一的可能就是：极小值点恰好在 $x$ 轴上（即与 $x$ 轴相切）。

3. 锁定参数 $a$：必须满足极小值点 $x=\frac{a}{3}>0$，且极小值 $f(\frac{a}{3})=0$。代入解出 $a$。
4. 求闭区间最值：将求得的 $a$ 代回原函数，利用导数判断 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的单调性。比较极值点和端点处的函数值，找出最大值和最小值，求和即可。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-3$

【解析过程】 对函数求导： $f^{\prime }(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=0$ 或 $x=\frac{a}{3}$。

因为 $f(0)=1>0$，且 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$。 要想 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上有且仅有一个零点，函数图象必须先下降接触 $x$ 轴，然后再上升。 因此，必须在 $x>0$ 处取得极小值，且极小值恰好等于 0。 即满足： $\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}>0\\ f\left(\frac{a}{3}\right)=0\end{array}$ 由 $\frac{a}{3}>0$ 得 $a>0$。 代入 $f\left(\frac{a}{3}\right)=0$ 得： $2{\left(\frac{a}{3}\right)}^3-a{\left(\frac{a}{3}\right)}^2+1=0$ $\frac{2a^3}{27}-\frac{3a^3}{27}+1=0⟹\frac{a^3}{27}=1⟹a^3=27$ 解得 $a=3$。

将 $a=3$ 代回原函数得 $f(x)=2x^3-3x^2+1$。 此时 $f^{\prime }(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$。 在区间 $[-1,1]$ 上：

• 当 $x\in [-1,0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

所以，在 $[-1,1]$ 上，函数的最大值为极大值 $f(0)$： $f_{\max }(x)=f(0)=1$

函数的最小值在端点处取得，计算两端点的值： $f(-1)=2(-1{)}^3-3(-1{)}^2+1=-2-3+1=-4$ $f(1)=2(1{)}^3-3(1{)}^2+1=2-3+1=0$ 比较得最小值为： $f_{\min }(x)=f(-1)=-4$

最大值与最小值的和为： $f_{\max }(x)+f_{\min }(x)=1+(-4)=-3$

故填入：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三次函数的零点分布模型：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a>0)$ 在特定区间内的零点个数，高度依赖于极大值和极小值的符号：

• 若极大值 $>0$ 且极小值 $<0$，则有 3 个零点。
• 若极值之一等于 0，则有 2 个零点（其中一个是切点）。
• 若极大值与极小值同号，或无极值点，则只有 1 个零点。

2. 数形结合定极值：本题通过 $f(0)=1$ 且终态趋于 $+\infty$ 结合“唯一零点”，瞬间锁定极小值必等于 0（相切），这是解题的最优捷径。
3. 闭区间最值求法：“先找极值点，再看端点，三者比较得最值”。千万不要理所当然地认为极小值就是最小值，比如本题的最小值就在端点 $x=-1$ 处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个直觉：

• 当题目中出现“多项式函数在某区间有且仅有一个零点”，并且该区间的端点值与函数走向（如 $+\infty$）同号时，这个唯一的零点大概率是一个重根（切点）。
• 代数意义上，$f(x)$ 必然可以分解为 $f(x)=(x-x_0{)}^2(mx+n)$ 的形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国卷理-18
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13