2018-江苏卷-13 填-三角形面积

本题导读

本题考查三角形面积公式，以及角平分线的性质与面积分割。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$\angle ABC=120^{\circ }$，$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$，且 $BD=1$，则 $4a+c$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 处理角平分线条件（等面积法）：

• 遇到“角平分线+已知长度+已知夹角”，首选等面积法。
• $△ABC$ 的面积等于被角平分线分割出的两个小三角形面积之和：$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△CBD}$。
• 展开面积公式：$\frac{1}{2}ac\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}c\cdot BD\cdot \sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}a\cdot BD\cdot \sin 60^{\circ }$。
• 化简得到 $a$ 与 $c$ 的关系式，并将其变形为倒数和的形式 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$。

2. 运用基本不等式求最值（常数代换法）：

• 要求 $4a+c$ 的最小值，而已知 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$。
• 将目标式乘以“1”：$4a+c=(4a+c)\cdot 1=(4a+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$。
• 展开后，利用基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 求解，并验证等号成立的条件。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 9

【解析过程】 在 $△ABC$ 中，由题意知 $\angle ABC=120^{\circ }$，$BD$ 平分 $\angle ABC$， 所以 $\angle ABD=\angle CBD=60^{\circ }$。

根据三角形面积的分割关系有： $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△CBD}$ 代入夹角面积公式： $\frac{1}{2}ac\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}c\cdot BD\cdot \sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}a\cdot BD\cdot \sin 60^{\circ }$ 已知 $BD=1$，且 $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入上式并约去公因数 $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$，得： $ac=c\cdot 1+a\cdot 1$ 即 $ac=a+c$。 由于 $a,c$ 为三角形的边长，$a>0,c>0$，两边同除以 $ac$ 得： $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$

现在求 $4a+c$ 的最小值。利用“乘 1 法”： $4a+c=(4a+c)\times 1=(4a+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$ 展开括号： $=4+\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+1$ $=5+\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}$ 因为 $a>0,c>0$，由基本不等式可得： $5+\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}\ge 5+2\sqrt{\frac{4a}{c}\cdot \frac{c}{a}}=5+2\sqrt{4}=9$

验证等号成立条件： 当且仅当 $\frac{4a}{c}=\frac{c}{a}$，即 $c^2=4a^2⟹c=2a$ 时取等号。 代入 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$ 检验： $\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}=1⟹\frac{3}{2a}=1⟹a=\frac{3}{2}$，此时 $c=3$。 符合边长为正的几何意义，等号可以取到。

故 $4a+c$ 的最小值为 9。

故填入：9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 角平分线长度公式的推导：通过等面积法推导出的 $l_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}$ 是解三角形中的经典二级结论。本题正是对这一推导过程的直接考查。
2. 基本不等式应用的“三字诀”：一“正”（各项为正数），二“定”（积或和为定值），三“相等”（等号能取到）。本题中强行“凑”出定值积 $\frac{4a}{c}\cdot \frac{c}{a}=4$ 是解题的核心。
3. 常数代换的易错点：展开时一定要细心，$(4a+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$ 展开会产生常数项 $4+1=5$，千万不要漏加。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个极其经典的代数变形技巧：

• 当已知条件形如 $mx+ny=k$（常数）时，求 $\frac{A}{x}+\frac{B}{y}$ 的最值。
• 当已知条件形如 $\frac{A}{x}+\frac{B}{y}=k$（常数）时，求 $mx+ny$ 的最值。
• 统一手法：将常数式除以 $k$ 得到“1”，然后将其与待求式相乘，展开后利用 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 即可化动为静。这种方法被称为**“常数代换法”或“乘 1 法”**。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷理-06
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2014-重庆卷文-09 单-对数最值