2018-江苏卷-21D 解-柯西不等式

本题导读

本题考查柯西不等式。核心在于柯西不等式法、结构配凑法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.

D.[选修4-5：不等式选讲]

若 $x,y,z$ 为实数，且 $x+2y+2z=6$，求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 特征识别：

• 待求式：平方和形式 $\sum x_i^2$。

• 已知条件：一次和形式 $\sum a_i{x}_i$。

• 核心工具：这是典型的柯西不等式应用场景。

2. 公式配凑：

• 柯西不等式标准形式：$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\ge (a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2$。

• 为了构造出已知条件 $x+2y+2z$，我们令系数序列为 $(1,2,2)$。

3. 计算与验证：

• 代入已知值 $6$，计算出 $x^2+y^2+z^2$ 的下界。

• 必须检查等号成立的条件（即 $x,y,z$ 与系数成比例），确保最小值可以取到。

✅【答案】

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$x^2+y^2+z^2$ 的最小值为 $4$

✍【详细解析】

Abstract

解：

由柯西不等式得：

$(x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+2^2)\ge (x\cdot 1+y\cdot 2+z\cdot 2{)}^2$

即：

$(x^2+y^2+z^2)(1+4+4)\ge (x+2y+2z{)}^2$

因为已知 $x+2y+2z=6$，代入上式得：

$9(x^2+y^2+z^2)\ge 6^2$

$9(x^2+y^2+z^2)\ge 36$

解得：

$x^2+y^2+z^2\ge 4$

等号成立条件：

当且仅当 $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}$ 时，等号成立。

设 $x=k,y=2k,z=2k$，代入 $x+2y+2z=6$ 得：

$k+4k+4k=6⟹9k=6⟹k=\frac{2}{3}$

此时 $x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3},z=\frac{4}{3}$，对应的 $x^2+y^2+z^2=\frac{4}{9}+\frac{16}{9}+\frac{16}{9}=\frac{36}{9}=4$。

所以，$x^2+y^2+z^2$ 的最小值为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 柯西不等式的“三要素”：

• 结构：平方和 × 平方和 $\ge$ 积之和的平方。

• 方向：求平方和的最小值（如本题）或求一次和的最大值。

• 等号：分量对应成比例。

2. 几何意义（拓展）：

• 本题在空间几何中相当于：求原点 $O(0,0,0)$ 到平面 $x+2y+2z-6=0$ 距离的平方。

• 点到平面距离公式：$d=\frac{|-6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$。

• 距离的平方 $d^2=4$。这与不等式结果完美契合。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理柯西不等式的常见变式：

• 向量形式：$|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|$。

• 分式形式 (安得烈亚斯库不等式)：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{x+y+z}$。

• 本题如果用分式形式看待：$x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{(2y{)}^2}{4}+\frac{(2z{)}^2}{4}\ge \frac{(x+2y+2z{)}^2}{1+4+4}=\frac{36}{9}=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-11 单-柯西不等式

• 2005-重庆卷理-05 单-基本不等式

• 2008-大纲卷I理-10