2018-浙江卷-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）函数 $y=2^{|x|}\sin 2x$ 的图象可能是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析奇偶性：

   • 设 $f(x)=2^{|x|}\sin 2x$。

   • $f(-x)=2^{|-x|}\sin (-2x)=2^{|x|}\cdot (-\sin 2x)=-f(x)$。

   • 结论：函数为奇函数，其图象关于原点对称。由此排除 A、B（均为偶函数图象）。

2. 分析局部正负（特殊区间法）：

   • 观察 C、D 的区别，主要在于 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时的正负。

   • 当 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时，$2x\in (\pi ,2\pi )$。

   • 在该范围内，$\sin 2x<0$，而 $2^{|x|}>0$ 恒成立。

   • 结论：在该区间内 $f(x)<0$。由此排除 C，锁定 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

设 $f(x)=2^{|x|}\sin 2x$，定义域为 $\mathbb{R}$。

1. 奇偶性判断：

   $f(-x)=2^{|-x|}\sin (2\cdot (-x))=2^{|x|}\cdot (-\sin 2x)=-f(x)$。

   所以 $f(x)$ 是奇函数，图象关于原点对称，排除选项 A、B。

2. 取值范围判断：

   当 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时，有 $2x\in (\pi ,2\pi )$。

   此时 $\sin 2x<0$，且 $2^{|x|}>0$，

   所以 $f(x)=2^{|x|}\sin 2x<0$。

   观察图象，C 选项在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 部分位于 $x$ 轴上方（为正），不符合；

   D 选项在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 部分位于 $x$ 轴下方（为负），符合要求。

   对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 图象识别“四步走”：

   • 一看定义域：排除不符合自变量范围的图象。

   • 二看奇偶性：对称性是筛选图象最高效的工具。

   • 三看特殊值：如 $x=0,1,\pi$ 等点的函数值。

   • 四看单调性/正负：分析导数或特定区间内的函数值符号。

2. 复合函数的性质：本题是由偶函数 $2^{|x|}$ 与奇函数 $\sin 2x$ 相乘得到的，根据“偶 $\times$ 奇 = 奇”的规律可以直接快速求解第一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这个简单的对照表：

• 关于 $y$ 轴对称 $⟺$ 偶函数 $f(x)=f(-x)$。

• 关于原点对称 $⟺$ 奇函数 $f(x)=-f(-x)$。

• 如果图象既不关于原点对称也不关于 $y$ 轴对称，通常为非奇非偶函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性
• 2000-新课标理-05 单-函数的奇偶性