2018-浙江卷-09 单-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量夹角公式。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量.若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，向量 $\vec{b}$ 满足 ${\vec{b}}^2-4\vec{e}\cdot \vec{b}+3=0$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是()

A. $\sqrt{3}-1$　　　　　B. $\sqrt{3}+1$　　　　　C. 2　　　　　D. $2-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $\vec{e}$ 是单位向量，为了简化计算，设 $\vec{e}=(1,0)$。

2. 确定 $\vec{a}$ 的轨迹：

   • 设 $\vec{a}=(x,y)$。利用夹角公式 $\cos ⟨\vec{a},\vec{e}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{e}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{e}|}=\frac{1}{2}$。

   • 得到 $x=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$，化简可得 $y=\pm \sqrt{3}x$ ($x>0$)。

   • 结论：$\vec{a}$ 对应的终点在射线 $y=\pm \sqrt{3}x$ ($x>0$) 上。

3. 确定 $\vec{b}$ 的轨迹：

   • 设 $\vec{b}=(m,n)$。代入已知等式 $|\vec{b}{|}^2-4\vec{e}\cdot \vec{b}+3=0$。

   • 得到 $m^2+n^2-4m+3=0$，配方得 $(m-2{)}^2+n^2=1$。

   • 结论：$\vec{b}$ 对应的终点在以 $(2,0)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆上。

4. 转化几何问题：$|\vec{a}-\vec{b}|$ 即为射线上的一点到圆上的一点之间的距离。其最小值等于圆心到直线的距离 $d$ 减去圆的半径 $r$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

设 $\vec{e}=(1,0)$。

1. 分析 $\vec{a}$：

   设 $\vec{a}=(x,y)$ ($x^2+y^2\ne 0$)。

   因为 $⟨\vec{a},\vec{e}⟩=\frac{\pi }{3}$，所以 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{x\cdot 1+y\cdot 0}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot 1}=\frac{1}{2}$。

   解得 $\sqrt{x^2+y^2}=2x$，即 $x^2+y^2=4x^2⟹y^2=3x^2$。

   由于 $x=\frac{1}{2}|\vec{a}|>0$，故 $\vec{a}$ 的终点轨迹是射线 $y=\sqrt{3}x$ 或 $y=-\sqrt{3}x$ ($x>0$)。

2. 分析 $\vec{b}$：

   设 $\vec{b}=(m,n)$。

   由 ${\vec{b}}^2-4\vec{e}\cdot \vec{b}+3=0$ 得 $m^2+n^2-4m+3=0$。

   配方得：$(m-2{)}^2+n^2=1$。

   该轨迹是以 $C(2,0)$ 为圆心，$r=1$ 为半径的圆。

3. 计算最小值：

   圆心 $C(2,0)$ 到直线 $\sqrt{3}x-y=0$ 的距离为：

   $d=\frac{|\sqrt{3}\times 2-0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

   则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值为 $d-r=\sqrt{3}-1$。

   对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合：向量模的最小值问题通常可以转化为解析几何中点与点、点与线或线与圆的距离问题。

2. 坐标法的威力：通过建立合适的坐标系（如令单位向量位于轴线上），可以将抽象的向量模和数量积运算转化为具体的方程。

3. 圆的性质应用：圆外一点到圆上点距离的最大/最小值为：$d\pm r$（$d$ 为点心距）。同理，直线与圆的距离最小值即为圆心到直线的距离减去半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个技巧：处理含有单位向量 $\vec{e}$ 的多向量问题时，优先设 $\vec{e}=(1,0)$。这能瞬间固定参考系，让其他向量的夹角和分量变得易于计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-27
• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程
• 2000-新课标理-10 单-圆的标准方程与一般方程