2018-浙江卷-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）二项式 $(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2x}{)}^8$ 的展开式的常数项是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：根据二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，代入 $n=8,a=x^{\frac{1}{3}},b=\frac{1}{2}{x}^{-1}$。

2. 整理 $x$ 的指数：将通项公式中的系数与变量 $x$ 分离，汇总 $x$ 的所有幂指数。

3. 令指数为 0：常数项意味着 $x^0$，建立关于 $r$ 的方程并求解。

4. 计算系数：将求得的 $r$ 代入系数部分 ${\text{C}}_8^r\cdot (\frac{1}{2}{)}^r$ 计算出最终数值。

✅【答案】

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7

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 7

【解析过程】

二项式 $(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2x}{)}^8$ 的展开式的通项公式为：

$T_{r+1}={\text{C}}_8^r(\sqrt[3]{x}{)}^{8-r}(\frac{1}{2x}{)}^r$

将根式和分式化为指数幂形式：

$T_{r+1}={\text{C}}_8^r(x^{\frac{1}{3}}{)}^{8-r}(\frac{1}{2}{x}^{-1}{)}^r$

$T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot \frac{1}{2^r}\cdot x^{\frac{8-r}{3}}\cdot x^{-r}$

$T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot \frac{1}{2^r}\cdot x^{\frac{8-r-3r}{3}}={\text{C}}_8^r\cdot \frac{1}{2^r}\cdot x^{\frac{8-4r}{3}}$

令 $x$ 的指数为 0：

$\frac{8-4r}{3}=0⟹8-4r=0⟹r=2$

将 $r=2$ 代入系数项：

${\text{C}}_8^2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{8\times 7}{2\times 1}\times \frac{1}{4}=28\times \frac{1}{4}=7$

所以展开式的常数项为 7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通项公式是核心：解决二项式定理有关项的问题，首要任务就是准确写出 $T_{r+1}$，注意是从第 1 项（$r=0$）开始算的。

2. 指数运算要细心：本题涉及分指数 $\frac{1}{3}$ 和负指数 $-1$，在合并同底数幂时容易出现计算错误。

3. 常数项 vs 系数：

   • 常数项：指不含自变量 $x$ 的那一项（即 $x^0$ 项）。

   • 二项式系数：仅指 ${\text{C}}_n^r$。

   • 项的系数：指该项中除了自变量以外的所有数值部分（如本题中的 ${\text{C}}_8^r\cdot \frac{1}{2^r}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这个常用结论：

• 若要求展开式中所有项的系数和，直接令 $x=1$ 代入原二项式即可。

• 本题若求系数和，结果为 $(1+\frac{1}{2}{)}^8=(\frac{3}{2}{)}^8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17