2019-上海卷-03 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的定义，以及指数函数与对数函数的互余关系。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知函数 $f(x)={\log }_{3}x$，则其反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解反函数概念：求反函数即在原函数 $y=f(x)$ 中，将 $x$ 用 $y$ 表示出来，即 $x=f^{-1}(y)$，最后再习惯性地互换 $x,y$ 的符号。
2. 利用指数与对数关系：对数式 $y={\log }_{a}x$ 与指数式 $x=a^y$ 互为逆运算。
3. 确定定义域：原函数的值域是反函数的定义域。由于 ${\log }_{3}x$ 的值域为 $\mathbb{R}$，故反函数的定义域为 $\mathbb{R}$。

✅【答案】

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$3^x$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $3^x$ 【解析过程】 令 $y={\log }_{3}x$ 根据对数与指数的转换关系，得： $x=3^y$ 将 $x$ 与 $y$ 互换，得反函数解析式为： $y=3^x$ 即 $f^{-1}(x)=3^x$。 故答案为：$3^x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性：函数与其反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称。
• 互逆关系：熟记底数相同的指数函数与对数函数互为反函数。例如 ${\log }_{e}x$（即 $\ln x$）的反函数是 $e^x$。
• 定义域注意：求完反函数后，原则上应注明反函数的定义域（即原函数的值域），本题中由于 $3^x$ 在实数集上均有意义且原函数值域为 $\mathbb{R}$，通常简写解析式即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理常见的反函数对照表：

• $y=x^n\leftrightarrow y=\sqrt[n]{x}$ （需注意定义域限制）
• $y=a^x\leftrightarrow y={\log }_{a}x$
• $y=\sin x\leftrightarrow y=\arcsin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 2001-豫粤卷-06 单-反函数的定义与求法
• 2004-广东卷理-16 填-反函数与求法