2019-上海卷-05 填-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 2\end{array}$，求 $z=2x-3y$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：不等式组表示的区域是以 $(0,0),(2,0),(0,2)$ 为顶点的三角形区域及其内部。
2. 转化目标函数：将 $z=2x-3y$ 转化为斜截式方程 $y=\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$。
3. 数形结合：该直线斜率为 $\frac{2}{3}$，截距为 $-\frac{z}{3}$。要使 $z$ 最小，需使截距 $-\frac{z}{3}$ 最大。
4. 确定最优解：观察图象可知，当直线经过可行域的顶点 $(0,2)$ 时，截距最大，此时 $z$ 取得最小值。

✅【答案】

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-6

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -6 【解析过程】 由约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 2\end{array}$ 作出可行域，如图所示，是一个三角形阴影区域。 目标函数 $z=2x-3y$ 可化为 $y=\frac{2}{3}x-\frac{z}{3}$。 这是一组斜率为 $\frac{2}{3}$ 的平行直线。 当直线经过点 $(0,2)$ 时，截距 $-\frac{z}{3}$ 最大，此时 $z$ 最小。 将 $x=0,y=2$ 代入目标函数： $z_{\min }=2\times 0-3\times 2=-6$。 故答案为：-6。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 截距与最值的对应关系：注意目标函数中 $y$ 前面的系数。若系数为负（如本题 $-3y$），则截距最大对应 $z$ 最小；若系数为正，则截距最大对应 $z$ 最大。
• 边界点检验法：对于简单的多边形可行域，最值通常在顶点处取得。可以直接代入所有顶点坐标进行比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳目标函数的常见几何意义：

• 直线型：$z=ax+by$（平移直线）。
• 距离型：$z=x^2+y^2$（点到原点距离的平方）。
• 斜率型：$z=\frac{y-b}{x-a}$（过定点的直线斜率）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 北京卷理-04 单-线性规划
• 山东卷理-04 单-线性规划
• 2018-全国卷II理-14 填-线性规划