2019-上海卷-13 单-方向向量

本题导读

本题考查直线的方向向量，以及直线的法向量。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知直线方程 $2x-y+c=0$ 的一个方向向量 $\vec{d}$ 可以是()

A. $(2,-1)$　　　　B. $(2,1)$　　　　C. $(-1,2)$　　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别法向量：直线一般式方程 $Ax+By+C=0$ 的系数 $(A,B)$ 构成直线的法向量 $\vec{n}$。本题中 $\vec{n}=(2,-1)$。
2. 理解方向向量定义：直线的方向向量 $\vec{d}$ 与直线平行，因此方向向量必须与法向量垂直。
3. 利用垂直条件：若向量 $\vec{d}=(x,y)$ 是方向向量，则 $\vec{n}\cdot \vec{d}=0$，即 $2x-y=0⟹y=2x$。
4. 验证选项：寻找满足纵坐标是横坐标 2 倍的选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 由直线方程 $2x-y+c=0$ 可得： 直线的法向量为 $\vec{n}=(2,-1)$。 设直线的方向向量为 $\vec{d}=(x,y)$，则有 $\vec{n}\perp \vec{d}$。 根据向量垂直的坐标表示： $2x+(-1)y=0⟹y=2x$。 观察选项： A. $2\times 2-(-1)=5\ne 0$；　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. $2\times 2-1=3\ne 0$；

C. $2\times (-1)-2=-4\ne 0$；　　　　　　　　　　　　　　D. $2\times 1-2=0$，符合条件。 故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 快速转化结论：对于直线 $Ax+By+C=0$，其方向向量可直接记为 $(-B,A)$ 或 $(B,-A)$。本题中即为 $(1,2)$ 或 $(-1,-2)$。
• 斜率联系：直线的斜率 $k=-\frac{A}{B}=2$。方向向量 $(x,y)$ 满足 $\frac{y}{x}=k=2$，同样可以快速定位答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理直线三类向量的关系：

• 法向量：$(A,B)$
• 方向向量：$(-B,A)$
• 单位方向向量：$(\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}})$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-10
• 1997-全国卷理-02 单-两直线平行求系数
• 1998-全国卷理-04