2019-全国卷I文-06 单-抽样方法

本题导读

本题考查系统抽样。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）某学校为了了解 1000 名新学生的身体素质，将这些学生编号为 $1,2,\cdots ,1000$，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验。若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 ()

A. 8 号学生　　B. 200 号学生　　C. 616 号学生　　D. 815 号学生

🔍【思路分析】

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1. 计算抽样间隔（群距）：$k=\frac{1000}{100}=10$。

2. 系统抽样中，被抽到的学生编号构成一个公差为 $k=10$ 的等差数列。

3. 检验选项中的编号减去 46 后是否为 10 的整数倍（即能否被 10 整除）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抽样间隔为 $k=\frac{1000}{100}=10$。

设抽到的编号数列通项为 $a_n=46+(n-1)\times 10$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

对各选项进行检验：

• 选项 (A)：$46-8=38$，不是 10 的倍数；

• 选项 (B)：$200-46=154$，不是 10 的倍数；

• 选项 (C)：$616-46=570=57\times 10$，是 10 的倍数（此时 $n=58$）；

• 选项 (D)：$815-46=769$，不是 10 的倍数。

故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：系统抽样的分段间隔与编号规律。

2. 核心方法：利用公差性质验证选项。

3. 避坑指南：注意编号之差必须是抽样间隔 $k$ 的整数倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计基础题，历年高考高频考点。

2. 结论推广: 若总体为 $N$，样本量为 $n$，间隔 $k=N/n$，则所抽编号对 $k$ 取模同余。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-12 填-系统与分层抽样

• 2004-湖南理-05 单-抽样方法

• 2005-湖北卷理-11 单-分层抽样的原理与计算