2019-全国卷I文-13 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及函数的求导法则。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）曲线 $y=3(x^2+x){\mathrm{e}}^x$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数 $y$ 关于 $x$ 的导数 $y^{\prime }$。
2. 计算切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=0}$。
3. 利用点斜式写出切线方程。

✅【答案】

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$y=3x$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=3(x^2+x){\mathrm{e}}^x$， 由乘积求导法则得： $y^{\prime }=3[(2x+1){\mathrm{e}}^x+(x^2+x){\mathrm{e}}^x]=3(x^2+3x+1){\mathrm{e}}^x$。 当 $x=0$ 时，斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=0}=3(0+0+1){\mathrm{e}}^0=3$。 又切点为 $(0,0)$， 所以切线方程为 $y-0=3(x-0)$，即 $y=3x$。 故答案为：$y=3x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与求导公式。
2. 核心方法：乘积求导法则。
3. 避坑指南：注意求导时不要漏掉多项式因式展开或链式/乘积法则项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数基础题。
2. 结论推广: 熟练掌握各类基本初等函数的导数公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-04
• 2009-江西卷理-05
• 2009-辽宁卷-07