2019-全国卷I理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知集合 $M=\{x\mid -4<x<2\}$，$N=\{x\mid x^2-x-6<0\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{x\mid -4<x<3\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid -4<x<-2\}$

C. $\{x\mid -2<x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid 2<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $N$：

   集合 $N$ 由一元二次不等式定义。需先对二次三项式 $x^2-x-6$ 进行因式分解，利用“小轴法”或“根轴法”确定其解集区间。

2. 理解交集含义：

   $M\cap N$ 代表既属于 $M$ 又属于 $N$ 的元素集合。

3. 数轴定位：

   在数轴上分别标出 $M$ 和 $N$ 的范围，重叠部分即为所求结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 解不等式确定集合 $N$：

   对于 $x^2-x-6<0$：

   因式分解得：$(x-3)(x+2)<0$。

   由“小于取中间”原则，得解集为 $-2<x<3$。

   所以 $N=\{x\mid -2<x<3\}$。

2. 进行交集运算：

   已知 $M=\{x\mid -4<x<2\}$。

   在数轴上找出 $(-4,2)$ 与 $(-2,3)$ 的公共部分：

   • 左端点取最大值：$\max (-4,-2)=-2$

   • 右端点取最小值：$\min (2,3)=2$

     因此，$M\cap N=\{x\mid -2<x<2\}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二次不等式的解法： 解 $a{x}^2+bx+c<0$ 时，若 $a>0$ 且方程有两根 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$)，解集必为 $(x_1,x_2)$。因式分解是提速的关键。

2. 交并集的混淆：

   • 交集 ($\cap$)：取公共部分（数轴上的重叠区）。

   • 并集 ($\cup$)：取全部覆盖部分。

     本题若求并集，则结果为 $(-4,3)$，即选项 A，这是最常见的干扰项。

3. 空集风险： 若两个区间完全不重叠，则结果为 $\varnothing$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 中建立集合专题时，可以备注以下口诀简化运算：

• 交集：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不了（空集）。

• 端点检验：如果不等式带有等号（$\le$），在写交集结果时务必确认端点是否在两个集合中同时成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 1986-全国理-18 解-对数不等式的求解
• 1987-全国卷理-01 单-集合的交集与并集