2019-全国卷I理-06 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是()

A. $\frac{5}{16}$　　　　　　B. $\frac{11}{32}$　　　　　　C. $\frac{21}{32}$　　　　　　D. $\frac{11}{16}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：每一“重卦”有 6 个位置，每个位置上的“爻”只有阴、阳 2 种可能。根据分步乘法计数原理，确定总的重卦数量。
2. 确定目标事件数：题目要求“恰有 3 个阳爻”，即从 6 个位置中选出 3 个位置放置阳爻，其余 3 个位置自动放置阴爻。这是一个典型的组合问题。
3. 计算概率：利用古典概型公式 $P=\frac{\text{目标事件数}}{\text{总事件数}}$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 第一步：计算所有可能的重卦总数 由于每一重卦由 6 个爻组成，且每个爻都有“阳”或“阴” 2 种可能， 根据分步乘法计数原理，总的基本事件数为： $N=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^6=64$。

第二步：计算恰有 3 个阳爻的事件数 在 6 个位置中随机选取 3 个位置安排阳爻，其余位置安排阴爻， 其方法数即为从 6 个元素中取 3 个的组合数： $M=C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$。

第三步：计算概率 所求概率 $P=\frac{M}{N}=\frac{20}{64}$。 约分得：$P=\frac{5}{16}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 文化背景建模：本题将《周易》的阴阳爻转化为数学中的二值逻辑（0-1 状态）。在高考中，此类题目重在考查学生对背景知识的快速提取与数学转化。
• 二项分布的联系：本题实质上可以看作是一个 $n=6,p=\frac{1}{2}$ 的独立重复试验，求 $k=3$ 时的概率，即 $P(X=3)=C_6^3(\frac{1}{2}{)}^3(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{20}{64}$。
• 易错点：部分同学可能将总数误记为 $A_6^2$ 或其他排列方式，需明确每一个位置都是独立分步的过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 住店模型：$n$ 个不同的元素放入 $m$ 个不同的位置（元素可重复），总数为 $m^n$。本题中是 6 个位置选阴阳，总数为 $2^6$。
2. 硬币模型：连续抛掷 $n$ 次硬币，恰好出现 $k$ 次正面的概率，其计算逻辑与本题完全一致。
3. 传统文化中的数学：近年来高考常涉及《九章算术》、《算学启蒙》等典籍中的问题，考查几何体体积、等差等比数列等知识点，录入时可建立【数学文化】专项标签。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2011-陕西卷理-10
• 2000-上海卷理-10 填-古典概型