2019-全国卷I理-07 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知非零向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$，且 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{b}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化垂直条件：利用向量垂直的充要条件 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{b}⟺(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{b}=0$。
2. 展开数量积：将点乘分配律展开，得到 $\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=0$，从而建立 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与 $|\vec{b}|$ 的关系。
3. 应用夹角公式：利用 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，代入已知条件 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$ 进行化简。
4. 确定角度：根据余弦值在向量夹角范围 $[0,\pi ]$ 内确定 $\theta$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 第一步：由垂直关系求数量积 因为 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{b}$， 所以 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{b}=0$。 根据数量积的分配律得： $\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=0$， 即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$。

第二步：代入夹角公式 设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$ ($\theta \in [0,\pi ]$)。 由 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$， 代入 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$ 和 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$ 得： $\cos \theta =\frac{|\vec{b}{|}^2}{2|\vec{b}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{|\vec{b}{|}^2}{2|\vec{b}{|}^2}=\frac{1}{2}$。

第三步：确定夹角大小 因为 $\theta \in [0,\pi ]$ 且 $\cos \theta =\frac{1}{2}$， 所以 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 以及 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$。
• 几何直观：$(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{b}$ 意味着如果以同一原点起点作向量，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影矢量恰好就是 $\vec{b}$。
• 陷阱警示：注意模的比例关系不要代反。若误计为 $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$，则会导致结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 坐标形式：若 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 菱形/矩形模型：

• $(\vec{a}+\vec{b})\perp (\vec{a}-\vec{b})⟺|\vec{a}|=|\vec{b}|$（平行四边形对角线互相垂直则为菱形）。
• $\vec{a}\perp \vec{b}⟺|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$（平行四边形对角线相等则为矩形）。

3. 夹角范围：向量夹角范围是 $[0,\pi ]$，而两条直线的夹角范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$，在综合题中需注意区分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2016-山东卷理-08
• 2004-全国卷I理-03 单-平面向量的数量积
• 2004-福建理-08 单-平面向量的数量积性质