2019-全国卷II文-08 单-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的极值点，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）若 $x_1=\frac{\pi }{4}$，$x_2=\frac{3\pi }{4}$ 是函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega >0)$ 两个相邻的极值点，则 $\omega =$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 相邻两个极值点之间的距离等于半个周期，即 $\frac{T}{2}=x_2-x_1$。
2. 求出周期 $T$，再利用公式 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x_1=\frac{\pi }{4}$，$x_2=\frac{3\pi }{4}$ 是函数两个相邻的极值点， 所以半个周期 $\frac{T}{2}=x_2-x_1=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$， 从而周期 $T=\pi$。 又因为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$， 所以 $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的极值点与周期。
2. 核心方法：利用“相邻极值点间距为半个周期”快速求解。
3. 避坑指南：注意相邻极值点对应的距离是 $\frac{T}{2}$ 而不是 $T$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数性质经典题。
2. 结论推广: 熟练掌握正余弦函数图象中零点、极值点与对称轴之间的间距关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷理-16
• 1977-天津-01(3)
• 1983-全国卷理-04