2019-全国卷II文-11 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）已知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$2\sin 2\alpha =\cos 2\alpha +1$，则 $\sin \alpha =$ ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角公式将 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 展开为含 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的式子。
2. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$（或 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$）。
3. 代入化简求出 $\sin \alpha$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2\sin 2\alpha =\cos 2\alpha +1$， 利用二倍角公式展开得： $2(2\sin \alpha \cos \alpha )=(1-2{\sin }^2\alpha )+1$ $4\sin \alpha \cos \alpha =2-2{\sin }^2\alpha$ 两边除以 2 得： $2\sin \alpha \cos \alpha =1-{\sin }^2\alpha$。 因为 $1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$，代入右边得： $2\sin \alpha \cos \alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$。 因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，故 $\cos \alpha \ne 0$，两边同除以 $\cos \alpha$ 得： $2\sin \alpha =\cos \alpha ⟹\cos \alpha =2\sin \alpha$。 又因为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$， 所以 ${\sin }^2\alpha +(2\sin \alpha {)}^2=1⟹5{\sin }^2\alpha =1⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$。 因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\sin \alpha >0$，故 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式与同角三角函数平方关系。
2. 核心方法：齐次式化简或整体代换。
3. 避坑指南：注意开平方时结合角的范围取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角恒等变换经典题。
2. 结论推广: 熟练掌握降幂公式与二倍角公式的灵活变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)
• 1993-新高考理-09
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换