2019-全国卷II理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）设集合 $A=\{x\mid x^2-5x+6>0\}$，$B=\{x\mid x-1<0\}$，则 $A\cap B=$()

A. $(-\infty ,1)$　　　　B. $(-2,1)$　　　　C. $(-3,-1)$　　　　D. $(3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

化解集合 A： 集合 A 由一元二次不等式 $x^2-5x+6>0$ 定义。需要对二次项进行因式分解，利用“大于取两边”的原则确定解集区间。 化解集合 B： 集合 B 为简单的一元一次不等式，直接移项即可得到 $x$ 的取值范围。 执行交集运算： $A\cap B$ 表示同时满足 A 和 B 条件的 $x$ 的集合。在数轴上标出两个区间，重叠部分即为答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】

解不等式确定集合 A： 对于 $x^2-5x+6>0$： 因式分解得：$(x-2)(x-3)>0$。 由“大于取两边”原则，得解集为 $x<2$ 或 $x>3$。 所以 $A=\{x\mid x<2\text{ 或 }x>3\}$。 解不等式确定集合 B： 对于 $x-1<0$： 移项得：$x<1$。 所以 $B=\{x\mid x<1\}$。 进行交集运算： 在数轴上表示集合 A：$(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$； 在数轴上表示集合 B：$(-\infty ,1)$。 寻找重叠部分： 由于 $1<2$，因此 $x<1$ 的部分完全落在 $x<2$ 的区间内。 即 $A\cap B=\{x\mid x<1\}$，用区间表示为 $(-\infty ,1)$。 故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

二次不等式的解集规律： 对于 $a{x}^2+bx+c>0$ ($a>0$)，若方程有两根 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$)，解集为“大于取两边” $(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$；若不等号为“<”，则为“小于取中间” $(x_1,x_2)$。 数轴的直观性： 集合题目中，画数轴可以有效避免在处理边界值（如本题中的 1, 2, 3）时产生逻辑混乱。 选项干扰分析： 选项 D 是集合 A 的一部分，但与 B 没有交集；选项 B 和 C 中的数值通常源于因式分解或移项时的正负号计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在本题中，我们可以发现 $B\subset A$。

• 若 $B\subset A$，则 $A\cap B=B$。
• 若 $B\subset A$，则 $A\cup B=A$。 在做题时，如果能预先判断出集合间的包含关系，可以直接跳过数轴比对步骤，直接得出结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2016-全国卷I理-01
• 2016-北京卷文-1