2019-全国卷II理-04 单-函数方程

本题导读

本题考查函数方程的代数变形，以及近似计算与化简。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆。实现月球背面软着陆的关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为此发射了中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_2$ 点的轨道运行。$L_2$ 点位于地月连线的延长线上。设地球质量为 $M_1$，月球质量为 $M_2$，地月距离为 $R$，$L_2$ 点到月球的距离为 $r$。根据牛顿运动定律和万有引力定律，$r$ 满足方程： $\frac{M_1}{(R+r{)}^2}+\frac{M_2}{r^2}=(R+r)\frac{M_1}{R^3}$ 设 $\alpha =\frac{r}{R}$，由于 $\alpha$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3{\alpha }^3+3{\alpha }^4+{\alpha }^5}{(1+\alpha {)}^2}\approx 3{\alpha }^3$，则 $r$ 的近似值为()

A. $\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}R$　　　B. $\sqrt{\frac{M_2}{2M_1}}R$　　　C. $\sqrt[3]{\frac{3M_2}{M_1}}R$　　　D. $\sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}R$

🔍【思路分析】

破题导航

引入参数 $\alpha$： 利用已知关系 $r=\alpha R$，将原方程中所有的 $r$ 替换为 $\alpha R$，从而将变量统一为 $\alpha$ 和 $R$。 提取公因式并化简： 在等式两边消去共同的项（如 $R^2$ 或 $M_1$），将含 $\alpha$ 的项移到等式的一侧，含质量比 $\frac{M_2}{M_1}$ 的项移到另一侧。 利用近似条件： 将化简出来的关于 $\alpha$ 的复杂分式，利用题目给出的近似公式 $\frac{3{\alpha }^3+3{\alpha }^4+{\alpha }^5}{(1+\alpha {)}^2}\approx 3{\alpha }^3$ 进行替换。 求解 $r$： 解出 $\alpha$ 的近似值后，再根据 $r=\alpha R$ 还原出 $r$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】

方程代换： 将 $r=\alpha R$ 代入原方程： $\frac{M_1}{(R+\alpha R{)}^2}+\frac{M_2}{(\alpha R{)}^2}=(R+\alpha R)\frac{M_1}{R^3}$ 整理分母并消去 $R^2$： $\frac{M_1}{R^2(1+\alpha {)}^2}+\frac{M_2}{{\alpha }^2{R}^2}=\frac{M_1(1+\alpha )R}{R^3}$ $\frac{M_1}{(1+\alpha {)}^2}+\frac{M_2}{{\alpha }^2}=M_1(1+\alpha )$ 构造质量比项： 将含 $M_1$ 的项移至右侧，含 $M_2$ 的项留在左侧： $\frac{M_2}{{\alpha }^2}=M_1(1+\alpha )-\frac{M_1}{(1+\alpha {)}^2}$ $\frac{M_2}{M_1}={\alpha }^2\left[(1+\alpha )-\frac{1}{(1+\alpha {)}^2}\right]$ 通分化简右侧分式： $\frac{M_2}{M_1}={\alpha }^2\left[\frac{(1+\alpha {)}^3-1}{(1+\alpha {)}^2}\right]$ 展开 $(1+\alpha {)}^3=1+3\alpha +3{\alpha }^2+{\alpha }^3$： $\frac{M_2}{M_1}={\alpha }^2\left[\frac{1+3\alpha +3{\alpha }^2+{\alpha }^3-1}{(1+\alpha {)}^2}\right]=\frac{3{\alpha }^3+3{\alpha }^4+{\alpha }^5}{(1+\alpha {)}^2}$ 利用近似条件： 根据题意，右侧 $\approx 3{\alpha }^3$。 即 $\frac{M_2}{M_1}\approx 3{\alpha }^3⟹{\alpha }^3\approx \frac{M_2}{3M_1}$ 得出 $\alpha \approx \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}$。 计算 $r$： $r=\alpha R=\sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}}R$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

长题干阅读心理： 这类题目通常被称为“纸老虎”。虽然背景涉及拉格朗日点等高大上的航天知识，但核心只是一个代数化简问题。冷静分析变量间的比例关系是解题关键。 近似处理的艺术： 题目给出的近似公式实际上是引导你如何去化简。如果你发现化简出来的式子和题目给的近似式长得一模一样，说明你的化简方向完全正确。 物理常识辅助： $L_2$ 点距离月球较近（$r\ll R$），因此系数 $\alpha =r/R$ 极小，这符合开立方根的数学特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一个“近似模型”专题。在科学计算中，当 $x\to 0$ 时：

1. $(1+x{)}^n\approx 1+nx$
2. $\ln (1+x)\approx x$
3. $\sin x\approx x$ 本题实际上就是利用了 $\alpha$ 是极小量，从而将高次项进行合并简化的一种变体。

🔗【关联脉络】

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