2019-全国卷II理-06 单-指数函数

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及对数函数的性质与定义域。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）若 $a>b$，则()

A. $\ln (a-b)>0$　　B. $3^a<3^b$　　C. $a^3-b^3>0$　　D. $|a|>|b|$

🔍【思路分析】

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逐项分析函数单调性：

• A项 (对数)：考虑 $\ln x$ 的零点。当 $x=1$ 时 $\ln x=0$，需判断 $a-b$ 是否一定大于 1。
• B项 (指数)：考虑底数为 3 的指数函数 $y=3^x$。因为 $3>1$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
• C项 (幂函数)：考虑 $y=x^3$。该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，由此判定 $a^3$ 与 $b^3$ 的大小。
• D项 (绝对值)：绝对值代表点到原点的距离，正数大于负数时，其绝对值不一定更大。 举反例排除： 对于不确定的选项，通过选取特殊的 $a,b$ 值（如一正一负，或差值为 1）进行快速排除。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】

选项 A 判定： 若 $a=2,b=1$，满足 $a>b$。 此时 $a-b=1$，则 $\ln (a-b)=\ln 1=0$。 不满足 $\ln (a-b)>0$，故 A 错误。 选项 B 判定： 由指数函数 $y=3^x$ 的性质可知，由于底数 $3>1$，函数在 $\mathbb{R}$ 上为增函数。 因为 $a>b$，所以 $3^a>3^b$。 选项中为 $3^a<3^b$，故 B 错误。 选项 C 判定： 考虑幂函数 $y=x^3$。其导数 $y^{\prime }=3x^2\ge 0$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 因为 $a>b$，根据单调性定义，必有 $a^3>b^3$。 移项得 $a^3-b^3>0$，故 C 正确。 选项 D 判定： 若 $a=1,b=-2$，满足 $a>b$。 此时 $|a|=1,|b|=2$，满足 $|a|<|b|$。 不满足 $|a|>|b|$，故 D 错误。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

函数单调性的核心应用： 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增，则对于任意 $x_1,x_2\in I$，有 $x_1>x_2⟺f(x_1)>f(x_2)$。

特值法的妙用： 在选择题中，尤其是涉及不等式的比较时，选取“1、0、-1”或者让差值为“1”的数值通常能极大地提高排除效率。 绝对值的陷阱： $|a|>|b|$ 等价于 $a^2>b^2$，这要求 $a>b>0$ 或 $b<a<0$ 等特定条件，在 $a,b\in \mathbb{R}$ 的广义条件下不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理下表用于快速判定：

函数类型	函数表达式	增减性前提	结论
指数型	$y=a^x$	$a>1$	保持不等号方向
对数型	$y={\log }_{a}x$	$a>1$	保持不等号方向（需注意真数 $>0$）
奇次幂型	$y=x^{2n+1}$	任意 $x\in \mathbb{R}$	保持不等号方向
倒数型	$y=1/x$	同号区间内	翻转不等号方向

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷理-5
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13