2019-全国卷II理-09 单-三角函数的周

本题导读

本题考查三角函数的周期性与单调性，以及函数图象与性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）下列函数中，以 $\frac{\pi }{2}$ 为周期且在区间 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 单调递增的是()

A. $f(x)=|\cos 2x|$　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=|\sin 2x|$

C. $f(x)=\cos |x|$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)=\sin |x|$

🔍【思路分析】

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判定周期性：

• $y=\sin |x|$ 和 $y=\cos |x|$：$y=\cos |x|=\cos x$，周期为 $2\pi$；而 $y=\sin |x|$ 不是周期函数（关于 $y$ 轴对称但波形在原点处断裂）。
• $y=|f(x)|$：若 $f(x)$ 周期为 $T$，则 $|f(x)|$ 周期通常为 $T/2$（对于正余弦函数成立）。 分析单调性：
• 对于符合周期条件的 A、B 选项，通过画出函数图象或利用复合函数单调性（内层函数 $2x$ 递增，外层绝对值函数翻折）来判断在 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 上的走势。 排除法应用：
• 先排除周期不符的 C、D，再对比 A、B 在目标区间的增减情况。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】

判定周期性排除 C、D：

• 对于 C：$f(x)=\cos |x|=\cos x$，其最小正周期 $T=2\pi$，不符合 $\frac{\pi }{2}$，排除 C。

• 对于 D：$f(x)=\sin |x|$ 为偶函数，图象在 $y$ 轴两侧不对称且不循环，不是周期函数，排除 D。

分析选项 A 和 B 的周期：

• $y=\sin 2x$ 和 $y=\cos 2x$ 的周期均为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
• 加绝对值后，$f(x)=|\sin 2x|$ 和 $f(x)=|\cos 2x|$ 的图象将 $x$ 轴下方的波峰翻折上来，周期减半，即 $T^{\prime }=\frac{\pi }{2}$。均符合周期条件。 分析区间 $(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 的单调性：
• 对于 B：当 $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 时，$2x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$。在此范围内 $\sin 2x$ 从 1 减小到 0，且始终为正。因此 $f(x)=|\sin 2x|=\sin 2x$ 在该区间单调递减，排除 B。
• 对于 A：当 $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 时，$2x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$。在此范围内 $\cos 2x$ 从 0 减小到 -1。加绝对值后，$f(x)=|\cos 2x|=-\cos 2x$。由于 $\cos 2x$ 递减，则 $-\cos 2x$ 单调递增。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

绝对值变换规律：

• $y=f(|x|)$：保留 $y$ 轴右侧图象，并将其关于 $y$ 轴对称翻折到左侧，通常破坏周期性（余弦除外）。
• $y=|f(x)|$：将 $x$ 轴下方的图象向上翻折，周期变为原来的一半（针对正弦、余弦、正切函数）。 单调性的“翻转”： 在判定 $|f(x)|$ 的单调性时，若 $f(x)<0$，其单调性与 $f(x)$ 相反；若 $f(x)>0$，其单调性与 $f(x)$ 相同。 辅助角与整体换元： 令 $u=2x$，研究 $u\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时 $\cos u$ 的绝对值走势。

📖【试题探源与推广】

Tip

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1. $y=\sin |x|$ 不是周期函数，在原点附近呈“V”型。
2. $y=|\sin x|$ 的周期是 $\pi$，其导数在 $x=k\pi$ 处不存在（尖点）。
3. $y=|\sin \omega x|$ 的周期 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1985-全国卷理-03
• 1988-全国卷理-06 单-三角函数的周期
• 1993-新高考理-01