2019-全国卷II理-12 单-函数变换

本题导读

本题考查函数的平移与伸缩变换 = 2f。核心在于图像法 (数形结合)、分段解析式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，满足 $f(x+1)=2f(x)$，且当 $x\in (0,1]$ 时，$f(x)=x(x-1)$。若对任意 $x\in (-\infty ,m]$，都有 $f(x)\ge -\frac{8}{9}$，则 $m$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,\frac{9}{4}]$　　　B. $(-\infty ,\frac{7}{3}]$　　　C. $(-\infty ,\frac{5}{2}]$　　　D. $(-\infty ,\frac{8}{3}]$

🔍【思路分析】

破题导航

理解函数变换规律： $f(x+1)=2f(x)$ 意味着自变量每增加 1，函数值变为原来的 2 倍。

• 向左平移：$f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)$，函数值减半，波幅变小。
• 向右平移：$f(x)=2f(x-1)$，函数值翻倍，波幅变大。 分析区间 $(0,1]$ 上的特征： $f(x)=x^2-x$ 是开口向上的抛物线，顶点为 $(1/2,-1/4)$。 推导相邻区间：
• 当 $x\in (1,2]$ 时，$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)$，最小值变为 $-1/2$。
• 当 $x\in (2,3]$ 时，$f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)$，最小值变为 $-1$。 寻找临界点： 已知限制条件为 $f(x)\ge -8/9$。由于向左平移波幅不断减小（最小值绝对值越来越小），故在 $x\le 1$ 时显然成立。矛盾点出现在波幅变大的右侧区间。 只需找到在哪个区间开始，函数图象跌破 $-8/9$ 线，该点即为 $m$ 的上限。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】

图像特征推导：

1. 在 $(0,1]$ 上，$f(x{)}_{min}=-1/4=-0.25>-8/9$。
2. 在 $(1,2]$ 上，$f(x)=2(x-1)(x-2)$，$f(x{)}_{min}=2\times (-1/4)=-1/2=-0.5>-8/9$。
3. 在 $(2,3]$ 上，$f(x)=4(x-2)(x-3)$，$f(x{)}_{min}=4\times (-1/4)=-1<-8/9$。 确定临界区间： 由此可见，在区间 $(2,3]$ 内，函数图象会穿过 $y=-8/9$ 这条线。 求解交点： 令 $4(x-2)(x-3)=-8/9$ 整理得：$(x-2)(x-3)=-2/9$ $x^2-5x+6=-2/9$ $9x^2-45x+54=-2$ $9x^2-45x+56=0$ 利用求根公式或因式分解：$(3x-7)(3x-8)=0$ 解得 $x_1=7/3,x_2=8/3$。 确定范围： 在区间 $(2,3]$ 上，当 $x\in [2,7/3]$ 时，$f(x)\ge -8/9$； 当 $x\in (7/3,8/3)$ 时，$f(x)<-8/9$。 题目要求对任意 $x\in (-\infty ,m]$ 均成立，意味着在该区间内不能出现比 $-8/9$ 更小的值。 因此，$m$ 不能超过第一个跌破临界值的点，即 $m\le 7/3$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

抽象函数的几何化： 看到 $f(x+1)=kf(x)$ 形式，应立刻联想到“阶梯状”或“波浪状”伸缩的图象。

恒成立问题的陷阱： 很多同学会求出两个根 $7/3$ 和 $8/3$，误以为范围是 $[7/3,8/3]$。注意题干是 $(-\infty ,m]$，这是一个从极左侧开始的连续区间，只要中间有一段不符合，后面再符合也不行。 计算准确性： 因式分解 $9x^2-45x+56=0$ 是本题最后的“守门员”，需要熟练掌握十字相乘法。

📖【试题探源与推广】

Tip

在处理此类函数压轴题时，可以建立以下 CheckList：

1. 画图：草图能帮助你迅速定位“出问题”的区间。
2. 定性分析：确定函数是在“衰减”还是“放大”。
3. 定量计算：只对临界区间进行精确解析式求解，节省时间。
4. 端点检验：闭区间与开区间的临界点是否满足条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2002-大纲理-20 解-数列递推关系与通项公式
• 2004-浙江理-13 填-分段函数
• 2006-全国卷I理-21 解-分类讨论与分离参数法