2019-全国卷II理-14 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及指数函数。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x<0$ 时，$f(x)=-e^{ax}$。若 $f(\ln 2)=8$，则 $a=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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利用奇函数性质转化： 题目给出了 $x<0$ 的解析式，但已知条件 $f(\ln 2)$ 中的自变量 $\ln 2>0$。利用奇函数定义 $f(x)=-f(-x)$，将正区间的函数值转化为负区间的函数值来计算。 构建方程：

1. 因为 $\ln 2>0$，所以 $-\ln 2<0$。
2. 根据 $x<0$ 时的解析式，写出 $f(-\ln 2)$ 的表达式。
3. 利用 $f(\ln 2)=-f(-\ln 2)=8$ 建立关于 $a$ 的指数方程。 利用对数性质求解： 利用 $e^{n\ln x}=x^n$ 等恒等式简化方程，解出参数 $a$。

✅【答案】

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-3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -3 【解析过程】

利用奇偶性转化： $\because f(x)$ 是奇函数，$\therefore f(\ln 2)=-f(-\ln 2)$。 已知 $f(\ln 2)=8$，则 $f(-\ln 2)=-8$。 代入已知解析式： 当 $x<0$ 时，$f(x)=-e^{ax}$。 将 $x=-\ln 2$ 代入（此时 $-\ln 2<0$ 符合条件）： $f(-\ln 2)=-e^{a(-\ln 2)}=-e^{-a\ln 2}$。 建立等式： $-e^{-a\ln 2}=-8$ $e^{-a\ln 2}=8$ 化简指数项： 利用对数性质 $e^{-a\ln 2}=(e^{\ln 2}{)}^{-a}=2^{-a}$。 则 $2^{-a}=8$。 求解 $a$： $\because 8=2^3$ $\therefore -a=3⟹a=-3$。

故填：-3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

奇偶性的核心逻辑： “求正用负，求负用正”。即利用 $f(x)=\pm f(-x)$ 实现自变量在不同区间上的跨越。

指数对数运算： $e^{a\ln b}=b^a$ 是高频考点，必须熟练掌握。 易错点： 在转化过程中漏掉负号。奇函数满足 $f(x)=-f(-x)$，负号共有两处（自变量一处，函数值一处）。

📖【试题探源与推广】

Tip

若已知 $x>0$ 时 $f(x)=g(x)$：

1. 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $x<0$ 时，$f(x)=-g(-x)$。
2. 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $x<0$ 时，$f(x)=g(-x)$。 在本题中，已知 $x<0$ 时的解析式，同理可推 $x>0$ 时 $f(x)=-(-e^{a(-x)})=e^{-ax}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1993-旧高考理-08
• 1998-全国卷理-02