2019-全国卷II理-15 填-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。若 $b=6$，$a=2c$，$B=\frac{\pi }{3}$，则 $△ABC$ 的面积为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

建立关于边长的方程： 已知 $b,B$ 以及 $a,c$ 的比例关系。利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 构造关于未知数 $c$ 的一元二次方程。 求解边长： 解方程得出 $c$ 的值，进而根据 $a=2c$ 求出 $a$。注意边长必须为正数。 计算面积： 利用三角形面积的计算公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$，代入已知的 $a,c$ 和 $\sin \frac{\pi }{3}$ 即可得出答案。

✅【答案】

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$6\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $6\sqrt{3}$ 【解析过程】

应用余弦定理： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 代入已知条件 $b=6,a=2c,B=\frac{\pi }{3}$： $6^2=(2c{)}^2+c^2-2(2c)(c)\cos \frac{\pi }{3}$ $36=4c^2+c^2-4c^2\times \frac{1}{2}$ 整理方程： $36=5c^2-2c^2$ $3c^2=36⟹c^2=12$ 解得边长： $\because c>0$ $\therefore c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 则 $a=2c=4\sqrt{3}$ 计算三角形面积： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$ $S=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \sin \frac{\pi }{3}$ $S=\frac{1}{2}\times 24\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=12\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

故填：$6\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

解三角形的公式选择：

• 已知两边及其夹角：直接用面积公式。
• 已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求另一角，或用余弦定理求第三边。
• 本题属于已知两边比例及夹角，余弦定理是建立联系的最佳桥梁。

计算细节： $\cos 60^{\circ }=1/2$ 与 $\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}/2$ 容易记混，需加倍小心。 边长的正负性： 在解得 $c^2=12$ 时，虽然代数上有两个解，但几何背景下必须舍去负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ (R 为外接圆半径)。
2. 余弦定理变式：$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ (用于已知三边求角)。
3. 面积公式族：

• $S=\frac{1}{2}a{h}_a$
• $S=\frac{1}{2}ab\sin C$
• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (海伦公式，$p$ 为半周长)。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-17 解-三角形面积公式
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2010-浙江卷文-18 解-解三角形与最值