2019-全国卷II理-17 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定定理与性质定理。核心在于几何证明法、空间向量法 (坐标法)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A{A}_1$ 上，$BE\perp E{C}_1$。

(1)证明：$BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$；

(2)若 $AE=A_{1}E$，求二面角 $B-EC-C_1$ 的正弦值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明 $BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$）：

• 根据判定定理，需在平面 $E{B}_1{C}_1$ 内找两条相交直线与 $BE$ 垂直。

• 已知 $BE\perp E{C}_1$，只需再证 $BE\perp B_1{C}_1$。

• 利用长方体性质，$B_1{C}_1\perp$ 侧面 $AB{B}_1{A}_1$，而 $BE$ 在侧面内，故垂直关系成立。

2. 第二问（二面角正弦值）：

• 建系：利用长方体互相垂直的棱建立空间直角坐标系。
• 定参：设正方形边长为 $a$，高为 $b$。利用 $AE=A_{1}E$ 确定 $E$ 点坐标。
• 比例关系：由 $BE\perp E{C}_1$ 的向量数量积为 0，求出 $a$ 与 $b$ 的数量关系（本题中 $b=2a$）。
• 求法向量：分别计算平面 $BEC$ 和平面 $EC{C}_1$ 的法向量。
• 计算夹角：利用法向量夹角余弦值转化为二面角的正弦值。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】

(1)证明： 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\because B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，$BE\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， $\therefore BE\perp B_1{C}_1$。 又 $\because$ 题目已知 $BE\perp E{C}_1$，且 $B_1{C}_1\cap E{C}_1=C_1$， $B_1{C}_1,E{C}_1\subset$ 平面 $E{B}_1{C}_1$， $\therefore BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$。

(2)解： 以 $B$ 为坐标原点，$\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{B{B}_1}$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

设底面正方形边长为 $a$，$B{B}_1=b$。则： $B(0,0,0),C(a,0,0),C_1(a,0,b),E(0,a,\frac{b}{2})$。 由 $BE\perp E{C}_1$ 得 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{E{C}_1}=0$。 $\overrightarrow{BE}=(0,a,\frac{b}{2})$，$\overrightarrow{E{C}_1}=(a,-a,\frac{b}{2})$。 $(0)(a)+(a)(-a)+(\frac{b}{2})(\frac{b}{2})=0⟹-a^2+\frac{b^2}{4}=0⟹b=2a$。

令 $a=1$，则 $b=2$。 各点坐标为：$B(0,0,0),C(1,0,0),E(0,1,1),C_1(1,0,2)$。 $\overrightarrow{BC}=(1,0,0),\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$。 设平面 $BEC$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$， 由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{BC}=x_1=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{BE}=y_1+z_1=0\end{array}$，取 $\vec{m}=(0,1,-1)$。 $\overrightarrow{C{C}_1}=(0,0,2),\overrightarrow{EC}=(1,-1,-1)$。 设平面 $EC{C}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$， 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=2z_2=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EC}=x_2-y_2-z_2=0\end{array}$，取 $\vec{n}=(1,1,0)$。 设二面角 $B-EC-C_1$ 为 $\theta$，则： $|\cos \theta |=\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{|0+1+0|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。 $\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$， $\therefore \sin \theta =\sqrt{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

故二面角 $B-EC-C_1$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

线面垂直的转换： 证明线面垂直是解析立体几何大题的常用铺垫。在长方体/正方体模型中，寻找隐藏的线线垂直（如棱与侧面垂直）是关键。

坐标系的优越性： 对于长方体这类规则几何体，建立坐标系可以将复杂的空间想象转化为代数运算，极大地降低了思维难度，但对运算准确性要求较高。 余弦转正弦： 向量法求得的是二面角的余弦值，题目若求正弦值，务必记得进行平方和转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充：

1. 法向量方向：若两个法向量均指向二面角内部（或外部），则向量夹角与二面角互补（或相等）。
2. 直观判定：通过观察图形，二面角是锐角还是钝角，从而确定其余弦值的正负号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 1992-全国卷理-14
• 2006-浙江卷理-17 解-直线与平面所成的角