2019-全国卷III文-05 单-三角函数零点

本题导读

本题考查三角函数的零点，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）函数 $f(x)=2\sin x-\sin 2x$ 在 $[0,2\pi ]$ 的零点个数为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 令 $f(x)=0$，即 $2\sin x-\sin 2x=0$。
2. 利用二倍角公式将 $\sin 2x$ 展开为 $2\sin x\cos x$。
3. 提取公因式 $2\sin x$ 化为因式相乘形式，分别求在 $[0,2\pi ]$ 上的根。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $f(x)=2\sin x-\sin 2x=0$， 因为 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，所以 $2\sin x-2\sin x\cos x=0$， 即 $2\sin x(1-\cos x)=0$。 由此可得 $\sin x=0$ 或 $\cos x=1$。 因为 $x\in [0,2\pi ]$：

• 当 $\sin x=0$ 时，$x=0,\pi ,2\pi$（共 3 个解）；
• 当 $\cos x=1$ 时，$x=0,2\pi$（已包含在上述解中）。 综上所述，函数在 $[0,2\pi ]$ 上的零点一共有 3 个（即 $x=0,\pi ,2\pi$）。 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角方程求解与函数零点。
2. 核心方法：因式分解降次法。
3. 避坑指南：注意检验自变量端点值，防止漏掉区间端点的零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数经典零点题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角函数恒等变形求零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)
• 2012-陕西卷文-07 单-向量垂直与二倍角
• 2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理