2019-全国卷III文-12 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）设 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty )$ 单调递减，则 ()

A. $f\left({\log }_3\frac{1}{4}\right)>f(2^{-\frac{2}{3}})>f(2^{-\frac{3}{2}})$

B. $f\left({\log }_3\frac{1}{4}\right)>f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})$

C. $f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})>f\left({\log }_3\frac{1}{4}\right)$

D. $f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{3}{2}})>\dots$

🔍【思路分析】

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1. 利用偶函数性质将自变量转化为其绝对值：$f(x)=f(|x|)$。
2. 比较三个自变量的绝对值大小。
3. 结合函数在 $(0,+\infty )$ 上的单调递减性，绝对值越小，函数值越大。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设三个自变量分别为： $a={\log }_3\frac{1}{4}=-{\log }_{3}4$，其绝对值 $|a|={\log }_{3}4\approx 1.26$； $b=2^{-\frac{2}{3}}$，其绝对值 $|b]=2^{-\frac{2}{3}}\approx 0.63$； $c=2^{-\frac{3}{2}}$，其绝对值 $|c|=2^{-\frac{3}{2}}\approx 0.35$。 显然大小关系为：$|c|<|b|<|a|$。 因为 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，所以在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，从而在整个定义域上“自变量绝对值越小，函数值越大”。 因此，$f(|c|)>f(|b|)>f(|a|)$，即 $f(2^{-\frac{3}{2}})>f(2^{-\frac{2}{3}})>f\left({\log }_3\frac{1}{4}\right)$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶性与单调性的综合应用。
2. 核心方法：利用偶函数化为绝对值比较。
3. 避坑指南：注意对数及分数指数幂大小的准确估计。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数性质经典选择题。
2. 结论推广: 偶函数在对称区间上的单调性特点：单调性相反，且距离原点越近函数值越大（若在正区间递减）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性