2019-全国卷III文-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的夹角余弦公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）已知向量 $\mathbf{a}=(2,2)$，$\mathbf{b}=(-8,6)$，则 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量数量积的坐标公式计算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. 分别计算向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的模长。
3. 代入夹角公式 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 求解。

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(2,2)$，$\mathbf{b}=(-8,6)$， 所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2\times (-8)+2\times 6=-16+12=-4$， $|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$， $|\mathbf{b}|=\sqrt{(-8{)}^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$， 则 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{-4}{2\sqrt{2}\times 10}=\frac{-4}{20\sqrt{2}}=-\frac{1}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$。 故答案为：$-\frac{\sqrt{2}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量夹角余弦公式。
2. 核心方法：坐标直接代入法。
3. 避坑指南：注意分子数量积的正负号，分母模长计算要准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量基础计算题。
2. 结论推广: 熟练掌握向量夹角公式中分子为数量积、分母为模长乘积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2012-北京卷理-13