2019-全国卷III文-15 填-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的定义与几何性质，以及等腰三角形的性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限。若 $△M{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由椭圆方程求出 $a=6,b=\sqrt{20},c=\sqrt{36-20}=4$，焦点坐标 $F_1(-4,0),F_2(4,0)$，焦距 $|F_1{F}_2|=8$。
2. $△M{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形，需分三种情况讨论：① $|M{F}_1|=|F_1{F}_2|$；② $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|$；③ $|M{F}_1|=|M{F}_2|$。
3. 结合椭圆定义 $|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a=12$ 求解点 $M$ 的坐标，并检验其是否在第一象限。

✅【答案】

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$(3,\sqrt{15})$

✍【详细解析】

Abstract

由 $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ 得 $a=6$，$b=2\sqrt{5}$，$c=\sqrt{36-20}=4$，故 $F_1(-4,0)$、$F_2(4,0)$，$|F_1{F}_2|=8$。 $△M{F}_1{F}_2$ 等腰，按哪两条边相等分三种情形（设 $M(x,y)$，$x>0$，$y>0$）： 情形一：$|M{F}_1|=|M{F}_2|$。此时 $M$ 在 $y$ 轴上，$x=0$，与第一象限（$x>0$）矛盾，舍。 情形二：$|M{F}_1|=|F_1{F}_2|=8$。由定义 $|M{F}_2|=12-8=4$。两式相减： $|M{F}_1{|}^2-|M{F}_2{|}^2=64-16=48,$ 即 $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=48$，得 $16x=48$，$x=3$。 回代 $(x-4{)}^2+y^2=16$ 得 $1+y^2=16$，$y^2=15$，取 $y=\sqrt{15}$。 检验：$\frac{9}{36}+\frac{15}{20}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，点 $M(3,\sqrt{15})$ 确在椭圆上。 情形三：$|M{F}_2|=|F_1{F}_2|=8$。同理 $(x-4{)}^2-(x+4{)}^2=48$，得 $x=-3<0$，与第一象限矛盾，舍。 故 $M$ 的坐标为 $(3,\sqrt{15})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义、焦半径、等腰三角形分类讨论。
2. 核心方法：结合椭圆定义 $|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a$ 进行边长约束。
3. 避坑指南：求出坐标后务必代入检验点是否在第一象限且满足三角形三边关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线经典填空压轴题。
2. 结论推广: 熟练掌握椭圆焦半径公式 $r_1=a+ex$，$r_2=a-ex$ 的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-14 填-椭圆定义
• 1995-全国卷理-14
• 1998-全国卷理-16