2019-全国卷III理-03 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的容斥原理 = n + n，以及样本估计总体。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()

A. 0.5　　　　　　B. 0.6　　　　　　C. 0.7　　　　　　D. 0.8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型构建： 设阅读过《西游记》的学生集合为 $A$，阅读过《红楼梦》的学生集合为 $B$。

• “阅读过《西游记》或《红楼梦》”对应并集 $A\cup B$，即 $n(A\cup B)=90$。
• “阅读过《红楼梦》”对应集合 $B$，即 $n(B)=80$。
• “阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》”对应交集 $A\cap B$，即 $n(A\cap B)=60$。

2. 求解未知项： 利用容斥原理公式 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 求出 $n(A)$。
3. 计算比值： 用 $n(A)$ 除以调查总人数 100，得到估计值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 设阅读过《西游记》的人数为 $x$。 根据集合的容斥原理公式： $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 代入题目已知数据： $90=x+80-60$ 解得： $x=90-80+60=70$ 即在随机调查的 100 位学生中，阅读过《西游记》的学生有 70 位。 则该校阅读过《西游记》的学生人数与总人数比值的估计值为： $\frac{70}{100}=0.7$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：容斥原理是解决“重叠问题”的利器。在概率题中，它表现为 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。
2. 语言转化：

• “或” $\to$ 并集 $\cup$
• “且” $\to$ 交集 $\cap$

3. 数据素养：本题考查了从文字信息中提取数学关系的能力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下内容：

1. 三集合容斥公式（应对更难的题目）： $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$。

2. 文恩图快速解题法： 在文恩图中，先填最核心的交集部分（60），再根据 $n(B)=80$ 填出只看红楼梦的人数（$80-60=20$），最后根据总并集 90 减去已填部分，算出只看西游记的人数（$90-60-20=10$）。则看西游记的总人数为 $10+60=70$。

3. 关联考点： 若题目问：“已知该同学看过《红楼梦》，则他也看过《西游记》的概率是多少？” 这就是条件概率：$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{60}{80}=0.75$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-09
• 2009-陕西卷理-14
• 2020-新高考II卷-05 单-集合容斥