2019-全国卷III理-07 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性判断 = \pm ，以及特殊点函数值的估算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）函数 $y=\frac{2x^3}{2^x+2^{-x}}$ 在 $[-6,6]$ 的图像大致为()


🔍【思路分析】

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1. 分析奇偶性： 判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。若为奇函数，图象关于原点对称；若为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。这能排除不符合对称性的选项。
2. 符号与特殊值： 观察 $x>0$ 时函数值的正负情况。选取易于计算或估算的特殊点（如 $x=4$ 或 $x=6$），计算其函数值的大致范围。
3. 变化趋势： 分析当 $x\to 6$ 时，分母 $2^x$ 的增长速度与分子 $x^3$ 的增长速度，判定函数是持续上升还是开始回落。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 设 $f(x)=\frac{2x^3}{2^x+2^{-x}}$。 第一步：判定奇偶性 $f(-x)=\frac{2(-x{)}^3}{2^{-x}+2^{-(-x)}}=\frac{-2x^3}{2^{-x}+2^x}=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点成中心对称。 （由此可排除关于 $y$ 轴对称或无对称性的选项，如原解析中的选项 C）。

第二步：判定函数值符号 当 $x>0$ 时，分子 $2x^3>0$，分母 $2^x+2^{-x}>0$。 所以当 $x\in (0,6]$ 时，$f(x)>0$。 （由此可排除在正半轴出现负值的选项，如选项 D）。

第三步：计算特殊值进行筛选 取 $x=4$： $f(4)=\frac{2\times 64}{2^4+2^{-4}}=\frac{128}{16+\frac{1}{16}}\approx \frac{128}{16}=8$。 取 $x=6$： $f(6)=\frac{2\times 216}{2^6+2^{-6}}=\frac{432}{64+\frac{1}{64}}\approx \frac{432}{64}\approx 6.75$。 观察发现 $f(6)<f(4)$，说明函数在 $(0,6]$ 范围内并不是一直单调递增的，而是存在一个极大值点后开始回落。

对比选项 A（可能函数值过大或趋势不符）与选项 B，只有 B 符合上述特征。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 识图三步走：

• 一看定义域/值域。
• 二看对称性（奇偶性）。
• 三看特殊点与趋势。

2. “指数压倒幂”：在分式函数中，当 $x$ 较大时，指数函数 $2^x$ 的增长速度远快于幂函数 $x^3$。因此，虽然分子在变大，但分母变大得更快，导致函数最终会趋向于 0。这解释了为什么图象在远离原点时会向下弯曲。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下技巧：

1. 导数符号验证：如果两个选项极其相似，可以通过求导 $f^{\prime }(x)$ 判断在 $x=1$ 附近是增还是减。但本题商的求导较复杂，特殊值法性价比更高。
2. 结构拆解：该函数可视为 $y=2x^3\cdot \frac{1}{2^x+2^{-x}}$。后面部分是双曲余弦函数的倒数形式，其图象类似“钟形曲线”，与 $x^3$ 相乘后，决定了函数先由 $x^3$ 主导上升，后由指数倒数主导下降的走势。
3. 常见奇偶函数模型：

• $\frac{x}{e^x+e^{-x}}$（奇）
• $x(e^x-e^{-x})$（偶）
• $\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$（奇）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式