本题导读
本题考查频率分布直方图的性质。核心在于方程思想（利用频率和及给定概率列式）、加权平均法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2019年全国卷III(理)）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 两组，每组 100 只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组小鼠给服乙离子溶液。每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比。根据试验数据分别得到如下直方图（注：原题包含甲、乙两个直方图）：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 的估计值为 0.70。
(1)求乙离子残留百分比直方图中 的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问：
- 核心在于“百分比不低于 5.5”对应的区间。在直方图中，这通常对应最后几组。
- 利用 建立关于 的方程。
- 利用所有组频率之和等于 1 建立关于 的方程。
- 第二问：
- 平均数 。
- 组中值即为区间的左右端点算术平均数。
- 分别对甲、乙两组数据进行加权累加。
✅【答案】
点击查看答案
(1)，。
(2)甲的平均值约为 ，乙的平均值约为 。
✍【详细解析】
Abstract
【解析过程】
(1)由乙离子直方图及已知条件 可知：
在 这三个区间内的频率之和为 0.70。
根据直方图数据：
。
又因为所有区间的频率之和为 1：
。
将 代入：
。
(2)根据平均数计算公式：
甲离子的平均值估计值 ：
各组中值分别为：2, 3, 4, 5, 6, 7。
。
乙离子的平均值估计值 ：
各组中值分别为：3, 4, 5, 6, 7, 8。
。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 直方图的关键信息：纵轴通常是 ，但本题中直接给出了各组的频率（或百分比），计算时需看清图表标注。
- 估计的思想：在统计学中，用样本频率估计概率、用样本均值估计总体均值是核心逻辑。
- 计算准确性：平均数计算涉及多次乘加运算，建议分步核对，避免小数点错误。
📖【试题探源与推广】
Tip
在 Obsidian 笔记中，可以补充以下同类考点的计算方法：
- 众数：最高矩形底边中点的横坐标。
- 中位数：将直方图面积等分为 0.5 的横坐标。通常需要先确定中位数所在的区间，再利用面积比例内插法求解。
- 方差计算：，考查数据离散程度。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)