2019-北京卷文-07 单-对数运算

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及指对数实际应用模型。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 $m_2-m_1=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$，其中星等为 $m_k$ 的星的亮度为 $E_k$ ($k=1,2$). 已知太阳的星等是 $-26.7$，天狼星的星等是 $-1.45$，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ()

A. $10^{10.1}$　　　　B. $10.1$　　　　C. $\lg 10.1$　　　　D. $10^{-10.1}$

🔍【思路分析】

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1. 设定太阳的星等为 $m_1=-26.7$，亮度为 $E_1$；天狼星的星等为 $m_2=-1.45$，亮度为 $E_2$。
2. 将数据代入公式，通过移项和对数指数互化求出 $\frac{E_1}{E_2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设太阳的星等为 $m_1=-26.7$，亮度为 $E_1$；天狼星的星等为 $m_2=-1.45$，亮度为 $E_2$。 代入公式：$m_2-m_1=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$， $-1.45-(-26.7)=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$， $-1.45+26.7=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$， $25.25=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$， 两边同乘以 $\frac{2}{5}$（即 $0.4$）： $\lg \frac{E_1}{E_2}=25.25\times 0.4=10.1$. 根据对数的定义，$\frac{E_1}{E_2}=10^{10.1}$。 故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的运算、指数与对数的互化。
2. 核心方法：公式代入与方程求解。
3. 避坑指南：注意减法运算中的符号处理（$-1.45-(-26.7)=25.25$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第7题。
2. 结论推广: 熟练掌握对数恒等式 ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-03
• 1977-江苏卷-01(4)
• 1977-河北卷-04