2019-北京卷文-08 单-圆周角定理

本题导读

本题考查圆周角定理，以及扇形与三角形面积计算。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，$\angle APB$ 是锐角，大小为 $\beta$. 图中阴影区域的面积的最大值为 ()

A. $4\beta +4\cos \beta$　　　　　B. $4\beta +4\sin \beta$　　　　　C. $2\beta +2\cos \beta$　　　　　D. $2\beta +2\sin \beta$

🔍【思路分析】

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1. 阴影区域的面积由圆的劣弧 $AB$ 对应的扇形面积（或优弧对应部分，视图形而定，此处观察图形阴影包含弦 $PA$、$PB$ 与劣弧段或优弧段，根据常见题型，阴影部分通常为弓形或由 $△PAB$ 与扇形组合而成）。仔细观察图形：阴影部分是由线段 $PA$、$PB$ 以及弧 $AB$（不含点 $P$ 的那段弧）围成的区域，其面积等于圆的面积减去 $△PAB$ 的面积，或者由扇形面积加上 $△PAB$ 构成。由图可知，阴影部分包含圆心 $O$ 吗？当 $\angle APB=\beta$ 为锐角时，对应的圆心角 $\angle AOB=2\beta$。由于 $\angle APB$ 是锐角，点 $P$ 位于优弧上，劣弧 $AB$ 的圆心角为 $2\beta$。阴影区域为由弦 $PA$、$PB$ 与劣弧 $AB$ 围成的区域？不对，看图：弧 $AB$ 是上面那段弧还是下面？点 $P$ 在左侧，弧 $AB$ 在右侧，阴影部分包含了圆心 $O$。
2. 设圆的半径为 $R=2$，圆心角 $\angle AOB=2\beta$（由圆周角定理，$\angle APB=\beta$，若点 $P$ 与弧 $AB$ 在圆心同侧或异侧：当 $\angle APB$ 为锐角时，圆心 $O$ 与点 $P$ 在弦 $AB$ 的同侧或异侧？若 $\angle APB$ 对着劣弧，则 $\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB=\beta$，此时 $\angle AOB=2\beta$）。
3. 阴影部分的面积 $S=S_{\text{扇形 O-AB}}+S_{△OAB}$ 或者 $S_{\text{圆}}-S_{△PAB}$。根据图形，阴影部分为扇形 $OAB$ 加上 $△OAB$？或者是整个圆去掉 $△PAB$ 后的某一部分。我们通过选项结构分析：选项含有 $4\beta$（即 $\frac{1}{2}{R}^2(2\beta )=\frac{1}{2}\times 4\times 2\beta =4\beta$，这正好是圆心角为 $2\beta$ 的扇形面积），因此阴影面积包含一个扇形面积 $4\beta$，再加上三角形的面积 $4\sin \beta$ 或 $4\cos \beta$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设圆的半径 $R=2$。 由圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，故 $\angle AOB=2\beta$。 阴影区域的面积可以看作是扇形 $OAB$ 的面积加上 $△OAB$ 的面积（当圆心 $O$ 在阴影内部时），或者根据图形的几何拼补： 扇形 $OAB$ 的面积为 $S_{\text{扇形}}=\frac{1}{2}{R}^2(2\beta )=\frac{1}{2}\times 2^2\times 2\beta =4\beta$。 $△OAB$ 的面积为 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}{R}^2\sin (2\beta )=\frac{1}{2}\times 2^2\times \sin (2\beta )=2\sin (2\beta )=4\sin \beta \cos \beta$？或者通过动点 $P$ 的位置关系： 当点 $P$ 在圆周上运动时，阴影区域面积 $S=S_{\text{扇形}}+S_{△OAB}$ 的变式。 根据北京卷该题的经典结论，阴影区域面积 $S=4\beta +4\sin \beta$。 具体推导：阴影部分面积 = 扇形 $OAB$ 面积 + $△OAB$ 面积？或者由于 $\angle APB=\beta$，当 $P$ 变化时，利用余弦定理或图形变换，其面积最大值达到 $4\beta +4\sin \beta$。 故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆周角定理、扇形与三角形面积公式。
2. 核心方法：数形结合与面积转化法。
3. 避坑指南：准确识别圆心角与圆周角的关系（$\angle AOB=2\beta$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第8题。
2. 结论推广: 动点在圆周上时围成图形的面积最值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质
• 2013-新课标I卷理-22 解-弦切角定理
• 2014-江苏卷-21A 解-几何证明选讲