2019-北京卷理-06 单-对数运算

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及指数与对数的互化。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 $m_2-m_1=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$，其中星等为 $m_k$ 的星的亮度为 $E_k$ ($k=1,2$)。已知太阳的星等是 $-26.7$，天狼星的星等是 $-1.45$，则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A. $10^{10.1}$　　　　B. $10.1$　　　　C. $\lg 10.1$　　　　D. $10^{-10.1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取信息：

   • 公式：$m_2-m_1=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$。

   • 目标：求太阳（星等 $m_1$）与天狼星（星等 $m_2$）的亮度比值，即求 $\frac{E_1}{E_2}$。

2. 数值代入：

   • 令 $m_1=-26.7$（太阳），$m_2=-1.45$（天狼星）。

3. 等式变换：

   • 通过移项将 $\lg \frac{E_1}{E_2}$ 孤立出来，再利用对数与指数的互化定义 $x=\lg y⟺y=10^x$ 解出结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 代入已知数据：

   将 $m_1=-26.7$ 和 $m_2=-1.45$ 代入公式：

   $-1.45-(-26.7)=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$

2. 简化等式左侧：

   $-1.45+26.7=25.25$

   所以有：$25.25=\frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2}$

3. 解出对数值：

   两边同时乘以 $\frac{2}{5}$：

   $\lg \frac{E_1}{E_2}=25.25\times \frac{2}{5}=5.05\times 2=10.1$

4. 指数化简：

   根据对数定义 $\lg x=a⟹x=10^a$：

   $\frac{E_1}{E_2}=10^{10.1}$

   故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 阅读理解能力： 此类题目背景宏大，但核心是简单的公式代入。关键在于分清哪个是 $m_1,E_1$，哪个是 $m_2,E_2$，不要代反。

2. 运算细节： 注意系数 $\frac{5}{2}$ 移项后变为 $\frac{2}{5}$，以及负负得正的符号运算。

3. 数学文化背景： 该公式被称为 普森公式 (Pogson’s Equation)，它揭示了人类感官对亮度的感知（星等）与物理客观强度（亮度）之间呈对数关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

对数函数常用于描述跨度极大的物理量级：

1. 里氏震级 (Richter scale)： 描述地震释放能量的等级。

2. 酸碱度 (pH值)： 描述氢离子浓度的对数负值。

3. 分贝 (Decibel)： 描述声音强度的等级。

   北京卷命题特色： 偏好考查数学与生物、物理、地理及天文学的跨学科结合，要求考生具备良好的数据提取与模型转化能力。

第 6 题录入完成！这道题是典型的对数应用题。

准备录入第 7 题（通常为立体几何、函数综合或推理证明）吗？

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-03
• 1977-江苏卷-01(4)
• 1977-河北卷-04