2019-北京卷理-07 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及平面向量的加减法几何意义。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）设点 $A,B,C$ 不共线，则 “$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为锐角” 是 “$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{BC}|$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一向量基底：

   将所有的向量都转化为以 $A$ 为起点的向量。已知 $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|$（三角形法则）。

2. 模的不等式处理：

   对于含有模的不等式 $|\vec{a}+\vec{b}|>|\vec{a}-\vec{b}|$，最常用的处理手段是 两边平方，从而转化为数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的正负判断。

3. 夹角性质判定：

   • 锐角 $⟺\cos \theta >0⟺\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ 且 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线。

   • 钝角 $⟺\cos \theta <0⟺\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ 且 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线。

   • 直角 $⟺\cos \theta =0⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 等价转化条件：

   由向量减法定义可知 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

   故不等式 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{BC}|$ 等价于：

   $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|$

2. 两边平方去模：

   $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{|}^2>|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{|}^2$

   展开得：

   ${\overrightarrow{AB}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2>{\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AB}}^2$

   化简消项：

   $4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}>0⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}>0$

3. 判定充要关系：

   • 因为 $A,B,C$ 不共线，所以 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 均不是零向量且不共线。

   • $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}>0⟺|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos \theta >0⟺\cos \theta >0$。

   • 在三角形内角范围 $(0,\pi )$ 内，$\cos \theta >0⟺\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$，即夹角为锐角。

     综上所述，两者互为充要条件。

     故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平方大法： 在处理向量模的不等式或等式时，两边平方是打破“绝对值（模）”束缚、引入数量积的最强武器。

2. 几何直观： 在以 $AB,AC$ 为邻边的平行四边形中，$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ 是较长对角线的长度，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ 是较短对角线的长度。当两邻边夹角为锐角时，和向量对应的对角线必然长于差向量对应的对角线。

3. 易错点： 注意“数量积大于0”与“锐角”的等价性前提是向量非零且不共线。题目中“不共线”这一前提保证了逻辑的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在平行四边形中，设邻边为 $a,b$，对角线为 $d_1,d_2$，满足：

$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

即：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$。

本题实际上是比较了这两条对角线的大小。若夹角为直角（矩形），则 $d_1=d_2$；若夹角为锐角，则指向远方的对角线（和向量）更长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-13 单-直线平行的判定条件
• 2002-北京卷理-10 单-空间面面垂直的判定与性质
• 2004-北京卷理-05 单-反函数存在的判定条件