2019-北京卷理-08 单-曲线与方程

本题导读

本题考查曲线与方程。核心在于变量代换法 (去绝对值)、配方法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C：x^2+y^2=1+|x|y$ 就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：

① 曲线 $C$ 恰好经过 6 个整点；

② 曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$；

③ 曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积小于 3。

其中，所有正确结论的序号是()

A. ①　　　　　　　B. ②　　　　　　　C. ①②　　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

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1. 结论 ① (整点判定)：将方程变形，分析 $x$ 的可能整数值。利用 $x^2\le 1+|x|y$ 和 $y^2\le 1+|x|y$ 限制范围，逐一代入校验。

2. 结论 ② (最远距离)：设点 $P(x,y)$ 到原点距离为 $d$，则 $d^2=x^2+y^2$。利用基本不等式 $|x|y\le \frac{x^2+y^2}{2}$ 建立关于 $d^2$ 的不等式。

3. 结论 ③ (面积估算)：利用图形的对称性和关键点位置。通过寻找曲线内部的已知图形（如长方形、三角形）计算面积下界。如果下界已经大于或等于 3，则结论错误。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

验证结论 ①：

由 $x^2+y^2=1+|x|y$ 变形得：$y^2-|x|y+x^2-1=0$。

将其看作关于 $y$ 的二次方程，判别式 $\Delta =|x{|}^2-4(x^2-1)=4-3x^2\ge 0$。

解得 $x^2\le \frac{4}{3}$。由于 $x$ 是整数，故 $x$ 只能取 $0,1,-1$。

• 当 $x=0$ 时，$y^2=1⟹y=\pm 1$，整点为 $(0,1),(0,-1)$；

• 当 $x=1$ 时，$1+y^2=1+y⟹y^2-y=0⟹y=0,1$，整点为 $(1,0),(1,1)$；

• 当 $x=-1$ 时，$1+y^2=1+y⟹y=0,1$，整点为 $(-1,0),(-1,1)$。

  共计 6 个整点，① 正确。

验证结论 ②：

令 $d^2=x^2+y^2$。由方程知 $d^2=1+|x|y$。

根据均值不等式，$|x|y\le \frac{x^2+y^2}{2}$。

代入得：$d^2\le 1+\frac{d^2}{2}⟹\frac{1}{2}{d}^2\le 1⟹d^2\le 2⟹d\le \sqrt{2}$。

即点到原点距离不超过 $\sqrt{2}$，② 正确。

验证结论 ③：

由于曲线关于 $y$ 轴对称，观察右半部分整点：$D(0,1),C(1,1),B(1,0),A(0,-1)$。

连接这四个点构成的四边形 $ABCD$ 面积为：$S_{△OAB}+S_{\text{矩形 }OBCD}=\frac{1}{2}\times 1\times 1+1\times 1=1.5$。

整个“心形”区域包含左右两个对称的四边形 $ABCD$，其总面积 $S>2\times 1.5=3$。

因此面积小于 3 是错误的，③ 错误。

综上所述，①② 正确。故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 隐函数处理：遇到 $|x|$ 且要求整点时，通过判别式限制变量范围是极其有效的“缩小包围圈”的方法。

2. 面积估算技巧：在高考中求非规则图形面积，通常使用“内接多边形（求下界）”或“外切矩形（求上界）”进行估值，本题通过内接图形即可证伪。

3. 对称性思维：该曲线关于 $y$ 轴对称，但不关于 $x$ 轴对称（因为 $|x|y$ 变号），这决定了心形的尖端朝下。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 笛卡尔心形线：极坐标方程 $r=a(1-\sin \theta )$，这是文学史上著名的“情书曲线”。

2. 本题曲线的独特性：本题给出的 $x^2+y^2-|x|y=1$ 实际上是两个相互拼接的椭圆弧（在不同象限）。这种分段定义的隐函数在解析几何中常被用来考察分类讨论能力。

3. 北京卷命题趋势：北京卷非常强调“数学美”与“理性思维”的结合，第 8 题常以新颖的图形或定义出发，考查学生快速迁移知识（如均值不等式）解决未知问题的能力。

选择题部分录入完成！2019 年北京卷的选择题由易到难，梯度明显。

接下来录入第二部分：填空题（第 9-14 题）吗？

🔗【关联脉络】

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