2019-北京卷理-16 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于几何证明法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\perp CD$，$AD\parallel BC$，$PA=AD=CD=2$，$BC=3$．$E$ 为 $PD$ 的中点，点 $F$ 在 $PC$ 上，且 $\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}$．

(1)求证：$CD\perp$ 平面 $PAD$；

(2)求二面角 $F-AE-P$ 的余弦值；

(3)设点 $G$ 在 $PB$ 上，且 $\frac{PG}{PB}=\frac{2}{3}$．判断直线 $AG$ 是否在平面 $AEF$ 内，说明理由．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明）：利用线面垂直的定义。已知 $PA\perp$ 平面 $ABCD⟹PA\perp CD$；又已知 $AD\perp CD$。两条相交直线 $PA,AD$ 均与 $CD$ 垂直，即可得证。

2. 第二问（计算）：建立空间直角坐标系。

   • 以 $A$ 为原点，$AD$ 为 $y$ 轴，$AP$ 为 $z$ 轴，过 $A$ 且垂直于 $AD$ 的直线为 $x$ 轴。

   • 求出 $A,E,F,P$ 的坐标，分别计算平面 $AEF$ 和平面 $AEP$ 的法向量。

   • 利用向量夹角公式求解。

3. 第三问（探索）：

   • 求出 $G$ 点坐标，计算向量 $\overrightarrow{AG}$。

   • 检验 $\overrightarrow{AG}$ 是否与平面 $AEF$ 的法向量垂直，且点 $A$ 是否在面内。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)二面角 $F-AE-P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(3)直线 $AG$ 在平面 $AEF$ 内。

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$CD\subset$ 平面 $ABCD$，

所以 $PA\perp CD$．

又因为 $AD\perp CD$，且 $PA\cap AD=A$，

$PA,AD\subset$ 平面 $PAD$，

所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$．

(2)解：

以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$（如图）．

由题意得：$A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),B(2,-1,0)$．

因为 $E$ 是 $PD$ 中点，所以 $E(0,1,1)$．

因为 $\overrightarrow{PF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PC}=(2,2,-2)$，所以 $F(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3})$．

• 求平面 $AEF$ 的法向量 $\vec{m}$：

  $\overrightarrow{AE}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{AF}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3})$．

  由 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y+z=0\\ \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0\end{array}$．

  令 $z=-1$，则 $y=1,x=1$．得 $\vec{m}=(1,1,-1)$．

• 求平面 $AEP$ 的法向量 $\vec{n}$：

  平面 $AEP$ 即平面 $APD$，其在 $yOz$ 面内，故垂直于 $x$ 轴．

  取 $\vec{n}=(1,0,0)$．

• 计算夹角：

  $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

  所以二面角 $F-AE-P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．

(3)解：直线 $AG$ 在平面 $AEF$ 内．理由如下：

因为 $\overrightarrow{PG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PB}=(2,-1,-2)$，

所以 $\overrightarrow{PG}=(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$．

又 $P(0,0,2)$，则 $G(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，$\overrightarrow{AG}=(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$．

检查 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{AG}=1\times \frac{4}{3}+1\times (-\frac{2}{3})+(-1)\times \frac{2}{3}=\frac{4-2-2}{3}=0$．

因为 $\overrightarrow{AG}\perp \vec{m}$ 且点 $A$ 在平面 $AEF$ 内，

所以直线 $AG$ 在平面 $AEF$ 内．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标系选点：在 $PA\perp$ 底面的四棱锥中，以 $A$ 为原点建立系是最优选，因为 $AP,AD,AB(\text{或其垂线})$ 恰好构成两两垂直的基底。

2. 法向量计算：平面 $AEP$ 实际上就是 $yOz$ 坐标面，其法向量直接写 $x$ 轴方向向量即可，无需重复列方程计算，提高效率。

3. 共面判定：判定线在面内，除了证明方向向量与法向量垂直外，必须说明直线上至少有一个点在面内（本题点 $A$ 显然在内）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 1980-全国卷理-05
• 1987-全国卷理-17 解-三棱锥的体积