2019-北京卷理-18 解-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于坐标法、设而不解法（点差法/韦达定理）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）已知抛物线 $C：x^2=-2py$ 经过点 $(2,-1)$．

(1)求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；

(2)设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 0 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M,N$，直线 $y=-1$ 分别交直线 $OM,ON$ 于点 $A$ 和点 $B$．求证：以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求方程）：

   • 将点 $(2,-1)$ 直接代入抛物线方程求解 $p$。

   • 注意开口方向向下，准线方程形式为 $y=\frac{p}{2}$。

2. 第二问（定点证明）：

   • 设直线：焦点为 $(0,-1)$，设直线 $l$ 为 $y=kx-1$。

   • 联立方程：将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。

   • 找交点 A, B：求出直线 $OM$ 和 $ON$ 的方程，分别与 $y=-1$ 联立，求出 $A,B$ 的横坐标。

   • 圆的方程：利用直径式圆方程 $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$。

   • 证明定点：令 $x=0$，看所得关于 $y$ 的方程是否与 $k$ 无关。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$C$ 的方程为 $x^2=-2y$，准线为 $y=\frac{1}{2}$。

(2)证明见解析（圆经过定点 $(0,1)$ 和 $(0,-3)$）。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

将点 $(2,-1)$ 代入 $x^2=-2py$，得 $2^2=-2p\times (-1)$，

解得 $2p=4$，即 $p=2$．

所以抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=-4y$．

其准线方程为 $y=\frac{p}{2}=1$．

(2)证明：

抛物线 $C$ 的焦点为 $F(0,-1)$．

设直线 $l$ 的方程为 $y=kx-1$ ($k\ne 0$)，$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$．

联立 $\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ x^2=-4y\end{array}$，消去 $y$ 得：$x^2+4kx-4=0$．

由韦达定理知：$x_1+x_2=-4k,x_1{x}_2=-4$．

由于 $M,N$ 在抛物线上，则 $M(x_1,-\frac{x_1^2}{4}),N(x_2,-\frac{x_2^2}{4})$．

直线 $OM$ 的方程为 $y=\frac{-x_1^2/4}{x_1}x=-\frac{x_1}{4}x$．

令 $y=-1$，得 $A$ 的横坐标 $x_A=\frac{4}{x_1}$，即 $A(\frac{4}{x_1},-1)$．

同理可得 $B(\frac{4}{x_2},-1)$．

以 $AB$ 为直径的圆的方程为：

$(x-\frac{4}{x_1})(x-\frac{4}{x_2})+(y+1)(y+1)=0$

展开得：$x^2-(\frac{4}{x_1}+\frac{4}{x_2})x+\frac{16}{x_1{x}_2}+(y+1{)}^2=0$．

其中 $\frac{4}{x_1}+\frac{4}{x_2}=\frac{4(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}=\frac{4(-4k)}{-4}=4k$，

$\frac{16}{x_1{x}_2}=\frac{16}{-4}=-4$．

代入圆的方程：$x^2-4kx-4+(y+1{)}^2=0$．

要找 $y$ 轴上的定点，令 $x=0$：

$-4+(y+1{)}^2=0$

$(y+1{)}^2=4⟹y+1=\pm 2$

解得 $y=1$ 或 $y=-3$．

所以以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点 $(0,1)$ 和 $(0,-3)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 直径式圆方程的妙用： 在已知直径两端点坐标的情况下，使用 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ 比寻找圆心和半径要快得多，且能有效避免开方运算。

2. 计算对称性： $A$ 和 $B$ 的坐标具有高度对称性，求出 $A$ 即可写出 $B$。

3. 结论验证： 其中一个定点 $(0,1)$ 恰好是抛物线的准线与 $y$ 轴的交点，这在解析几何中往往不是巧合，可以作为检查计算结果的线索。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 消参思想： 证明过定点的本质是证明方程在特定条件下与变量参数（如 $k$）无关。

2. 几何直观： 直线 $l$ 绕焦点旋转时，圆 $AB$ 随之变化，但其始终“扎堆”通过 $y$ 轴上的两个点。

3. 类似结论： 在抛物线中，很多焦点弦相关的圆都会经过准线上或对称轴上的定点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-02
• 1985-全国卷理-08
• 1991-全国卷理-02