2019-天津卷文-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面几何性质与向量线性运算。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）在四边形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=2\sqrt{3}$，$AD=5$，$\angle A=30^{\circ }$，点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$，则 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 根据几何条件画出图形，分析四边形 $ABCD$（梯形）的各边长及夹角。
2. 利用向量的线性运算，将 $\overrightarrow{BD}$ 和 $\overrightarrow{AE}$ 用一组基底（如 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$）表示。
3. 通过数量积的定义计算 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}$ 的值。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB=2\sqrt{3}$，$AD=5$，$\angle A=30^{\circ }$。 过点 $B$ 作 $BF\perp AD$ 于 $F$，则在 Rt$△ABF$ 中，$BF=AB\sin 30^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$AF=AB\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$。 因为 $AD=5$，所以 $FD=AD-AF=5-3=2$。 在 Rt$△BFD$ 中，$BD=\sqrt{B{F}^2+F{D}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$。 点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$，设 $\angle AEB=\theta$，由于 $AE=BE$，则 $△ABE$ 是等腰三角形。 利用基底法或坐标系更简便：以 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系。 $A(0,0)$，$D(5,0)$。 点 $B$ 的坐标：$x_B=AF=3$，$y_B=BF=\sqrt{3}$，即 $B(3,\sqrt{3})$。 因为 $AD\parallel BC$，设直线 $BC$ 的方程为 $y=\sqrt{3}$。 点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上（注意 $E$ 在 $CB$ 的延长线上，即向左延长，因为 $CB$ 与 $AD$ 同向，延长线方向往左），且 $AE=BE$。 设 $E(x_E,\sqrt{3})$，由 $AE=BE$ 满足 $x_E^2+(\sqrt{3}{)}^2=(x_E-3{)}^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2$： $x_E^2+3=x_E^2-6x_E+9⟹6x_E=6⟹x_E=1$。 所以 $E(1,\sqrt{3})$。 计算向量： $\overrightarrow{BD}=D-B=(5-3,0-\sqrt{3})=(2,-\sqrt{3})$。 $\overrightarrow{AE}=E-A=(1-0,\sqrt{3}-0)=(1,\sqrt{3})$。 计算数量积： $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=2\times 1+(-\sqrt{3})\times \sqrt{3}=2-3=-1$。 故答案为：$-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标运算与几何转化。
2. 核心方法：建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积，化繁为简。
3. 避坑指南：注意点 $E$ 在 $CB$ 延长线上的位置，通过等腰三角形边长关系准确确定点 $E$ 的坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考填空题压轴题中向量与几和综合的常考题型。
2. 结论推广: 涉及复杂几何图形的向量计算时，建系坐标化往往是最稳健的解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2012-北京卷理-13